Schwächste Theorie, die mit ZFC gleichbedeutend ist

Ich habe neulich gelesen, dass ZF genauso konsequent wie ZFC ist. Soweit ich weiß, verwandeln wir, um dies festzustellen, einen formalen Beweis eines Widerspruchs in ZFC in einen formalen Beweis eines Widerspruchs in ZF.

Wir tun dies, indem wir alle Quantifizierungen auf das konstruierbare Universum beschränken : ∀ X , ϕ wird ersetzt durch ∀ X , Konstruierbar ( X ) ⇒ ϕ Und ∃ X , ϕ wird ersetzt durch ∃ X , Konstruierbar ( X ) ∧ ϕ . Da das konstruierbare Universum ein inneres Modell ist, erzeugt diese syntaktische Transformation einen gültigen formalen Beweis, der die Inferenzregeln respektiert.

Und die Anrufungen des Auswahlaxioms werden

∀ X , Konstruierbar ( X ) ⇒ ∃ F , Konstruierbar ( F ) ∧ Wahlfunktion ( F , X )

Aber das ist kein Axiom mehr, sondern ein Theorem von ZF. Damit haben wir einen formalen Widerspruchsbeweis in ZF. Ist das richtig?

Ich frage mich, wie weit wir diese Äquikonsistenzbeweise in ZF fortsetzen können. Können wir das Axiom der Grundlage entfernen? Auch das Axiom der Unendlichkeit? Ich bezweifle es, denn wenn wir alle Axiome entfernen könnten, wäre ZFC gleichbedeutend mit der leeren Theorie, die konsistent ist.

Sie können Foundation mit dem gleichen Trick entfernen. Jetzt würden Sie Ihre Quantoren auf das wohlbegründete Universum beschränken. Sie können die Unendlichkeit nicht entfernen, oder Sie würden am Ende eine Theorie haben, die im Wesentlichen nur Peano-Arithmetik ist.
Allerdings ist deine Formulierung etwas merkwürdig. Sie können auf verschiedene Weise unendlich viele Ersetzungsfälle entfernen und sogar sicherstellen, dass keine gemeinsame Untertheorie ausreicht. Mir ist nicht klar, dass das eine in vernünftigem Sinne schwächer ist als das andere.

Antworten (1)

Ja, Sie können das Axiom der Grundlagen mit demselben Argument entfernen: Bewegen Sie sich aus einem Universum von Z F − F N D zum von-Neumann-Universum, das die größte wohlbegründete und transitive Klasse ist.

Wenn Sie Infinity, Power Set oder Replacement entfernen, erhalten Sie streng schwächere Theorien. Um zu sehen, warum, notieren Sie das v ω , H C Und v ω + ω sind Modelle von Z F − ICH N F ich N ich T j , Z F − P Ö w e R , Z F − R e P l A C e M e N T bzw. Deshalb Z F beweist, dass diese Theorien ein Modell haben, also sind sie konsistent. Insbesondere nach dem Satz von Gödel kann keiner von ihnen das beweisen Z F selbst ist konsistent.

Schwächste Theorie, die mit ZFC gleichbedeutend ist
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