Welche Theorien sind konsistent?

Sind die folgenden Theorien konsistent? Begründen Sie jeweils Ihre Antwort.

(A)$\{\neg(x_1\doteq x_2)\text{, } \neg(x_2\doteq x_3) \text{, } \neg(x_1\doteq x_3)\}$

(B)$\{\exists x_1\exists x_2\exists x_3(\neg(x_1\doteq x_2)\land \neg(x_2\doteq x_3)\land \neg(x_1\doteq x_3))\}$

(C)$\{\forall x_1\forall x_2\forall x_3(\neg(x_1\doteq x_2)\land \neg(x_2\doteq x_3)\land \neg(x_1\doteq x_3))\}$

Lösung:

Definition: Eine Theorie$\Gamma$heißt konsistent wenn$\Gamma\nvdash\bot$. Eine Theorie$\Gamma$heißt inkonsistent wenn$\Gamma\vdash\bot$

Die einzige Methode, die ich herzuleiten gelernt habe, ist die natürliche Deduktion, aber wir haben auch den Vollständigkeitssatz gelernt, der kurz besagt:$\varphi\vDash\psi\implies\varphi\vdash\psi$". Mein Lehrer sagte, wenn wir beweisen wollen, dass eine Theorie widerspruchsfrei ist, dann müssen wir nur ein Modell finden, was mit Hilfe des Soliditätssatzes leicht zu erkennen ist$\varphi\vdash\bot\implies\varphi\vDash\bot$. Wir haben auch gelernt, dass wir, wenn wir beweisen wollen, dass etwas ableitbar ist, dies tun können, indem wir den Vollständigkeitssatz anwenden und zeigen, dass die logische Konsequenz gelten muss. Aber dann sagte mein Lehrer, wenn wir beweisen wollen, dass eine Theorie INKONSISTENZ ist, müssen wir nur aus einigen Annahmen in der Theorie falsch ableiten. Aber dann frage ich mich, warum es in diesem Fall nicht möglich ist, ein ähnliches Argument zu verwenden. Verwenden Sie ein Argument und schließen Sie daraus, dass dies immer falsch sein muss?

(b) ist konsistent. Ist diese Theorie nach (a) konsistent? Ich meine, darf ich dieses Modell als mein Beispiel verwenden?$\exists x_1\exists x_2\exists x_3(\neg(x_1\doteq x_2)\land \neg(x_2\doteq x_3)\land \neg(x_1\doteq x_3))$? Das heißt, verwenden$\exists$-Zeichen?

So; Meine Vermutung ist, dass (c) die einzige widersprüchliche Theorie unter diesen ist. Ich habe jedoch noch nicht versucht, daraus falsch abzuleiten. Hoffe jemand kann mir helfen. Danke :)