Beweisen Sie die Richtigkeit der Aussagenlogik ohne Induktion?

Ich möchte die Richtigkeit der Aussagenlogik ohne Induktion beweisen. Ich denke, ich kann das über einen Prozess tun, der im Grunde eine universelle Einführung ist (dh etwas über ein beliebiges Mitglied demonstrieren und daraus schließen, dass es universell gilt). Als Beispiel für diesen Ansatz habe ich eine neue Inferenzregel zum Beweis ausgewählt.

Meine Fragen:

• Ist mein Ansatz valide?
• Ist mein Beweis richtig?
• Ist es leicht zu verstehen und zu befolgen?
• Muss ich mehr/weniger Details hinzufügen?
• Wie kann ich es noch verbessern?

Nachweisen

Das wollen wir zeigen$\boxed{\dfrac{\Gamma_1 ,\,\phi\vdash\psi\quad\Gamma_2,\,\lnot\phi\vdash\psi}{\Gamma_1 ,\,\Gamma_2\vdash\psi}}\def\pa {((\Gamma_1\land\phi)\longrightarrow\psi)} \def\pb {((\Gamma_2\land\lnot\phi)\longrightarrow\psi)} \def\ca {((\Gamma_1\land\Gamma_2)\longrightarrow\psi)} \def\lto {\longrightarrow} \def\val#1{V_\mathscr{I}( #1 )} \def\pli {\text{PL-interpretation, $ $\mathscr{I}$},} \def\inp{\mathscr{I}}$ist eine wahrheitserhaltende Inferenzregel ohne Induktion. Dazu wandeln wir die Regel in ein Axiomschema um und zeigen, dass es gültig ist.

Konvertierungsregeln

Symbole

• "," und das "$\quad$" in Konjunktion umwandeln
• "$\vdash$" und das Vinculum wandeln sich in Implikation um
• $\Gamma$, mit oder ohne Index, ist eine endliche Menge verbundener WFFs, also ist es einfach ein WFF mit eigenen Bewertungsregeln

Bewertung von$\Gamma$

• $\val{\Gamma}=1$iff, für alle$\gamma\in\Gamma$, es ist so, dass$\val{\gamma}=1$Und$\Gamma\neq\emptyset$

Wandlung

• $\Gamma_1 ,\,\phi\vdash\psi:= \pa$

• $\Gamma_2,\,\lnot\phi\vdash\psi:= \pb$

• $\Gamma_1 ,\,\Gamma_2\vdash\psi:= \ca$

• Alles zusammengenommen verwandelt sich die Regel in -$\boxed{((\pa\land\pb)\lto\ca)}$

Beweis, dass das Axiomschema gültig ist

1. Nehmen Sie zur Reduktion an, dass$\val {((\pa\land\pb)\lto\ca)}=0$

2. Aus (1) folgt, dass$\val {\ca}=0$

3. Aus (2) folgt, dass$\val{\Gamma_1}=1$,$\val{\Gamma_2}=1$, Und$\val{\psi}=0$

4. Aus (1) folgt, dass$\val{\pa}=1$

5. Aus (3) und (4) folgt, dass$\val{\phi}=0$

6. Aus (5) folgt, dass$\val{\lnot\phi}=1$

7. Aus (1) folgt, dass$\val{\pb}=1$

8. Aus (3) und (6) folgt, dass$\val{\pb}=0$, was (7) widerspricht$\boxed{}$

Beispiel Beweis

$\begin{array}{lrcll} 1.&\phi&\vdash &\phi &\text{RA}\\ 2.&\phi&\vdash &\lnot\psi\lor\phi &\text{1, $\lor$I}\\ 3.&\phi&\vdash &\psi\to\phi &\text{2, Abbrv}\\ 4.&\phi&\vdash & (\phi\to\psi)\lor(\psi\to\phi) &\text{3, $\lor$ I}\\ 5.&\lnot\phi&\vdash &\lnot\phi &\text{RA}\\ 6.&\lnot\phi&\vdash &\lnot\phi\lor\psi &\text{5, $\lor$I}\\ 7.&\lnot\phi&\vdash &\phi\to\psi &\text{6, Abbrv}\\ 8.&\lnot\phi&\vdash & (\phi\to\psi)\lor(\psi\to\phi) &\text{7, $\lor$ I}\\ 9.&\emptyset &\vdash & (\phi\to\psi)\lor(\psi\to\phi) &\text{4, 8 New Rule}\\ \end{array}$