Ist die Manipulation einer trivialen Gleichheit ein logisch gültiger Beweis einer Formel?

Ich habe an einem Beweis dafür gearbeitet R N / 2 pendelt mit F In D 4 . Ich wusste nicht, wo ich anfangen sollte, also beschloss ich, eine wahre Aussage in die Formel zu manipulieren, die ich zu beweisen versuchte, als eine Art Ableitung.

e F = e F R N F = R 0 F R N / 2 R N / 2 F = R N / 2 R − N / 2 F R N / 2 F = R − N / 2 F R N / 2 F = F R N / 2

Ich fing jedoch an, mich selbst zu hinterfragen, weil mir klar wurde: „ e F = e F „ist immer wahr, egal ob „ R N / 2 pendelt mit F " ist wahr. Das führt mich zu der Frage, ob „ e F = e F ⟹ R N / 2 F = F R N / 2 “ ist tautologisch und if im Allgemeinen ist jede Implikation, die mit einer trivialen Gleichheit beginnt, tautologisch.

Ich verstehe nicht, wie du davon gekommen bist R N / 2 F = R − N / 2 F Zu R N / 2 F = F R N / 2 .
Weil R k F R k F = e So F R k = R − k F (was ich vorher bewiesen hatte)
Ah ich sehe; Danke.
Sie denken vielleicht an leere Wahrheiten, bei denen jede Implikation, die mit einer falschen Aussage beginnt, tautologisch ist. In diesem Fall muss jede Zeile wahr sein, entweder weil es die erste Zeile ist (eine triviale Gleichheit) oder weil sie aus der Wahrheit der vorherigen Zeile folgt. Also muss auch die letzte Zeile wahr sein.
Um Ihren letzten Satz direkt anzusprechen: Nein, Ihre angegebene Implikation ist nicht tautologisch – noch beinhaltet Ihre Arbeit irgendeine deduktive Explosion oder leere Wahrheit .

Antworten (3)

Eine Implikation ⊤ ⇒ P ist äquivalent zu P selbst, so beweist ⊤ ⇒ P beweist tatsächlich P . (Hier ⊤ bezeichnet einen Satz, der immer wahr ist.)

Nachdem Sie auf diese Weise einen Beweis gefunden haben, ist es jedoch üblich, ihn als Kette von Gleichheiten umzuschreiben, indem Sie Ihre Implikationskette auf der linken Seite von unten nach oben und dann auf der rechten Seite von oben nach unten lesen:

R N / 2 F = R − N / 2 ( R N F ) = R − N / 2 ( e F ) = R − N / 2 ( R 0 F ) = R − N / 2 ( R N / 2 R − N / 2 F ) = R − N / 2 F = F R N / 2 .
Diese Kette kann dann etwas vereinfacht werden:
R N / 2 F = R − N / 2 R N F = R − N / 2 e F = R − N / 2 F = F R N / 2 .

Das beantwortet die Frage. Ich muss allerdings am Umschreiben arbeiten, es ist nicht so selbstverständlich, wie ich es gerne hätte

Ja, diese Technik ist gültig. Das ist egal e F = e F ist immer wahr, da Ihre Gleichungsliste funktioniert, weil davon ausgegangen wird, dass jede Gleichung aus der obigen folgt (und nicht unbedingt umgekehrt ).

Eigentlich, D 4 = ⟨ R , S ∣ R 4 = e , S 2 = e , S R S − 1 = e ⟩ , Dann haben wir

S R 2 S − 1 = R − 2 = R 2 ,
So R 2 pendelt mit R Und S und damit mit allen Elementen. Es liegt also in der Mitte.

Du musst also nicht damit anfangen e F = e F , aber es ist nicht falsch.

Das OP beginnt nicht mit e F = F e .
@Shaun Entschuldigung, das war ein Tippfehler.
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