Beweis einer tautologischen Folgerung in Peter Smiths Introduction to Formal Logic

Sie haben die richtige Idee, aber es gibt einige kleine Fehler. Erstens,$(\alpha \leftrightarrow \beta), (\beta \leftrightarrow \gamma) \vDash \alpha \leftrightarrow \gamma$bedeutet, dass unter allen Interpretationen, in denen beides$\alpha \leftrightarrow \beta$Und$\beta \leftrightarrow \gamma$sind wahr,$\alpha \leftrightarrow \gamma$stimmt auch. (In der Aussagenlogik wird eine Interpretation durch eine Zuordnung von Wahrheitswerten zu allen Aussagenbuchstaben gegeben – was Smith eine Bewertung nennt. In der quantifizierten Logik sind Interpretationen komplizierter. Ich bin mir nicht sicher, wo Sie sich in Smiths Buch befinden Ich bin mir nicht sicher, auf welche Art von Logik Sie sich beziehen.)

Um etwas über alle Interpretationen zu beweisen, sollten Sie damit beginnen, dass Sie eine willkürliche Interpretation in Betracht ziehen. Also in deinem ersten Satz, wenn du das sagst$\alpha \leftrightarrow \beta$Und$\beta \leftrightarrow \gamma$wahr sind, was Sie meinen ist, dass sie unter der betrachteten Interpretation wahr sind . Das müssen Sie jetzt beweisen$\alpha \leftrightarrow \gamma$ist unter dieser Interpretation wahr.

Sie sagen dann, dass Sie zwei Fälle betrachten werden, aber was Sie präsentieren, sind nicht wirklich Fälle. Vielmehr sollten Sie sagen, dass Sie zwei Behauptungen beweisen werden. Die erste Behauptung ist die$\alpha \to \gamma$unter der Interpretation, die Sie in Betracht ziehen, wahr ist. Davon gehen Sie aus$\alpha$unter der Interpretation, die Sie in Betracht ziehen, wahr ist, und zeigen Sie dies$\gamma$muss auch wahr sein, damit das feststeht$\alpha \to \gamma$ist unter dieser Interpretation wahr. Aber Sie haben an dieser Stelle nicht für jede Interpretation gezeigt, unter welcher$\alpha$ist wahr,$\gamma$ist wahr, also solltest du es nicht sagen$\alpha \vDash \gamma$. Was Sie sagen sollten, ist das$\alpha \to \gamma$ist in der betrachteten Interpretation wahr. In ähnlicher Weise begründet das zweite Argument die Behauptung, dass$\gamma \to \alpha$nach dieser Auslegung wahr ist, und die beiden Behauptungen zusammen implizieren dies$\alpha \leftrightarrow \gamma$stimmt, wie gefordert.

Beachten Sie, dass Sie das nicht bewiesen haben$\alpha \leftrightarrow \gamma$ist unter allen Interpretationen wahr; Sie haben nur gezeigt, dass es unter allen Interpretationen in denen gilt$\alpha \leftrightarrow \beta$Und$\beta \leftrightarrow \gamma$sind beide wahr. Sie haben sich also nicht gezeigt$\vDash \alpha \leftrightarrow \gamma$; du hast nur gezeigt$(\alpha \leftrightarrow \beta), (\beta \leftrightarrow \gamma) \vDash \alpha \leftrightarrow \gamma$.

Ich habe das Buch nicht gelesen, aber$\vDash$zeigt semantische Folgerungen an und fordert die Verwendung eines Wahrheitsbaums, einer Wahrheitstabelle oder eines metalogischen Beweises. Sie scheinen einen metalogischen Beweis zu wollen. Dazu müssen wir zeigen, dass es keine Interpretation gibt, bei der die Prämissen wahr und die Schlussfolgerung falsch ist. Wir tun dies in der Regel über die Reduction ad absurdum/Widerspruchsbeweis und die Bewertungsfunktion. Verschiedene Autoren gehen die Dinge jedoch auf unterschiedliche Weise an.

Nachweisen

Das werden wir beweisen$\{\alpha\leftrightarrow\beta,~\beta\leftrightarrow\gamma\}\vDash\alpha\leftrightarrow\gamma$.

Nehmen Sie zur Reduktion an, dass$v(\alpha\leftrightarrow\beta)=v(\beta\leftrightarrow\gamma)=1$Und$v(\alpha\leftrightarrow\gamma)=0$. Als$v(\alpha\leftrightarrow\gamma)=0$Dann$v(\alpha)\neq v(\gamma)$. Wlog, lassen$v(\alpha)=1$, Dann$v(\beta)=1$, was bedeutet$v(\gamma)=v(\alpha)=1$; ein Widerspruch.