Wie kann man beweisen, dass das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten notwendig ist?

Dies ist eine Folgefrage zu dieser Antwort von Carl Mummert auf die Frage, ob jeder Beweis mit Widerspruch auch ohne Widerspruch bewiesen werden kann. Wie Carl Mummert betonte, gibt es in der klassischen Logik Beweise, die mit der intuitionistischen Logik nicht bewiesen werden können, dh die das Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten benötigen.

Gibt es einen Weg oder eine Methode zu zeigen, dass ein Theorem einfach mit dem Gesetz der ausgeschlossenen Mitte gezeigt werden kann?

Denn in der minimalen Logik gibt es auch kein Explosionsprinzip: Kann man zeigen/beweisen, dass jeder Beweis eines Theorems das Explosionsprinzip benötigt?

Beweisen ist das Verb, Beweisen ist das Substantiv.

Antworten (2)

Meinen Sie Sätze , die in der intuitionistischen Logik nicht bewiesen werden können, oder klassische Beweise von Sätzen, die keine bloße Übersetzung in die intuitionistische Logik haben? Als Beispiel für Letzteres gibt es den klassischen Elementarbeweis, dass „es existiert A , B , beide irrational, so dass A B ist rational". Dies berücksichtigt A = B = 2 , sagt dann A B ist entweder rational oder irrational und zerlegt das Problem in Fälle, ohne zu sagen, welcher Fall tatsächlich zutrifft. Soweit ich mich erinnere, wurde der relevante Fall seitdem tatsächlich identifiziert, sodass ein intuitionistischer Beweis für dieses Ergebnis existiert.

Ein Beispiel für ersteres ist für die glatte Infinitesimalanalyse relevant: Das kann man nicht zeigen X 2 = 0 impliziert X = 0 unter intuitionistischer Logik, weil die Trichotomie nicht ohne das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten gilt.

Danke für deine Antwort! Ich habe meine Frage aktualisiert: Ich möchte wissen, welche Methoden es gibt, um zu zeigen, dass jeder Beweis eines bestimmten Theorems das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte benötigt ...
Haben Sie Bezug für die Behauptung, was ∀ X ∈ R ( X < 0 ∨ X = 0 ∨ X > 0 ) gilt nicht intuitionistisch?
tc.umn.edu/~hellm001/Publications/MathematicalPluralismSIA.pdf Im Grunde reicht jede andere Einführung in die glatte Infinitesimalanalyse aus. Das ist natürlich kein logischer Text.
@Ian Danke, habe es auch hier gefunden .
@Git Gud: Intuitionistische Analyse ist mit dem Axiom kompatibel, dass alle Funktionen stetig sind. Sie können Trichotomie also nicht beweisen, denn wenn sie könnten, könnten sie die Funktion konstruieren, die ist 1 An 0 Und 0 an anderer Stelle, die diskontinuierlich ist.
Leider gelten diese Argumente mit glatter Infinitesimalanalyse hier nicht. Was heißt " R " in SIA ist nicht die Menge der Dedekind-Reellen (oder übrigens die Menge der Cauchy-Reellen). Für die Dedekind-Realen und für die Cauchy-Reellen können Sie intuitionistisch beweisen X 2 = 0 ⇒ X = 0 , allerdings nicht unter Berufung auf die Trichotomie, die in der Tat nicht intuitiv beweisbar ist. Stattdessen tun Sie es, indem Sie das beobachten A = 0 ist äquivalent zu ¬ ( A # 0 ) , Wo A # 0 ("Getrenntheit") bedeutet ∃ Q ∈ Q > 0 . | A | ≥ Q , und das X # 0 ⇒ X 2 # 0 .
Zusätzlich zu Carls Beweisskizze ist eine unterhaltsame topologische Methode, um zu zeigen, dass Trichotomie nicht beweisbar ist, zu beobachten, dass (1) intuitiv beweisbare Aussagen "in kontinuierlichen Familien stabil" sind und dass (2) Null zu sein nicht ist. Ich habe versucht, dies hier für ein Publikum von Philosophen der Mathematik aufzuschreiben , und stehe für Fragen oder Kommentare zur Verfügung!

Machen Sie das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte ApNp zu Ihrem einzigen Axiom für die klassische Logik und wählen Sie geeignete Transformations- und Ersetzungsregeln. Dies geschieht im Anhang D des Lehrbuchs Elementary Symbolic Logic von Ulrich und Gustason. Folglich werden alle Theoreme der klassischen Logik zu Konsequenzen des Gesetzes vom ausgeschlossenen Dritten.

Man könnte auch das Explosionsprinzip CKpNpq oder CpCNpq oder CNpCpq zum einzigen Axiom machen, wenn man geeignete Regeln hat.

Wenn Sie sagen "alle Sätze in der klassischen Logik werden zu Folgen des Gesetzes des ausgeschlossenen Dritten", meinen Sie damit, dass alles, was klassisch bewiesen werden kann, auch nur mit dem Gesetz des ausgeschlossenen Dritten und einigen Transformations- und Ersetzungsregeln bewiesen werden kann?
@tampis In diesem System beginnen alle Beweise mit dem Gesetz der ausgeschlossenen Mitte, und daher können Sie nur etwas mit dem Gesetz der ausgeschlossenen Mitte und (einigen bis allen) diesen Regeln beweisen.
Wenn ich einen im neuen System bewiesenen Satz nehme, nur mit dem Gesetz der ausgeschlossenen Mitte (+ einige Ersatzregeln). Warum kann ich denselben Satz nicht mit intuitionistischer Logik beweisen?
@tampis Möglicherweise können Sie denselben Satz mit intuitionistischer Logik beweisen oder nicht. Es kommt auf den Satz an. Die intuitionistische Logik kennt das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte nicht.
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