Wenn P, dann ist Q wahr und P auch. Dann ist Q nicht unbedingt wahr, richtig?

Nicht sicher, was die Frage ist. Aber$P\implies Q$bedeutet, wir haben eine der$3$Möglichkeiten, wie in der Frage angegeben:

1. P ist wahr und Q ist wahr
2. P ist falsch und Q ist falsch
3. P ist falsch und Q ist wahr

Und wenn$P$stimmt, dann müssen wir haben$1$, So$Q$ist wahr.

„P impliziert Q“ bedeutet wörtlich „wenn P wahr ist, dann ist Q wahr“. Wenn wir also wissen, dass P Q impliziert und P wahr ist, dann ist auch Q wahr.

Angenommen, Sie haben andere Dinge als wahr bewiesen, indem Sie "Wenn P, dann Q" verwendet haben. Und Ihnen wurde gesagt "Wenn P, dann Q" wahr ist, aber NICHTS über P oder Q gesagt (die Wahrheitswerte von P oder Q wurden Ihnen nicht gesagt). Sie würden dann davon ausgehen, dass bewiesen wurde, dass P wahr und Q wahr ist, richtig? Ansonsten ist die Aussage "Wenn P, dann Q" in den Fällen, in denen P falsch ist, ziemlich nutzlos, oder? (wie in Fall 2 und Fall 3, die ich geschrieben habe)

Nein, diese Annahme würden Sie nicht machen, weil$P\to Q$bedeutet das auch nicht$P$oder$Q$ist wahr. Ja, im Allgemeinen zeigen$P\to Q$ist nutzlos (und trivial), wenn Sie das wissen$P$ist falsch, aber das entbindet uns nicht von der Verantwortung des Beweises$P$um die Implikation zu nutzen.

In der Praxis, wenn ein Mathematiker beweist$P\to Q$, es ist normalerweise wann$P$Und$Q$sind beides unbewiesene Vermutungen, die für wahr gehalten werden. Das kann ein großer Fortschritt sein, auch wenn wir daraus nicht schließen können, dass wir es bewiesen haben$P$oder$Q,$seit jetzt wissen wir das, wenn wir es schaffen zu beweisen$P$dann haben wir es bewiesen$Q$zu.

Wenn es zum Beispiel 1990 wäre und wir wirklich die Person sein wollten, die endlich Fermats letzten Satz beweist, könnten wir es sehr interessant finden, dass dies etwa fünf Jahre zuvor bewiesen wurde$P\to Q,$Wo$P$ist (ein Spezialfall von) der Taniyama-Shimura-Vermutung und$Q$ist der letzte Satz von Fermat. Dies sagt uns, dass, wenn wir Fermats letzten Satz beweisen, eine Möglichkeit, dies zu tun, darin besteht, die Taniyama-Shimura-Vermutung zu beweisen. Wenn wir also besonders scharf auf elliptische Kurven, modulare Formen und dergleichen sind, könnte dies eine attraktive Strategie sein. Und tatsächlich, genau das hat Andrew Wiles versucht und geschafft.

Das ist nur ein Beispiel ... das passiert ständig und ist zu einem großen Teil der Fortschritt in der Mathematik.

Ein weiteres Beispiel ist, dass wir oft Dinge der Form beweisen$P\to Q$Wo$P$Und$Q$Parameter haben. Zum Beispiel$P$könnte sagen "$R$ist ein endlicher ganzzahliger Bereich" und$Q$könnte sagen "$R$ist ein Feld". Es ist ein Satz, dass$P\to Q,$und dieser Satz ist in der Tat nutzlos, wenn$R$ist kein endlicher ganzzahliger Bereich und nützlich, wenn$R$ist ein. Aber auch das entbindet uns nicht davon, das festzustellen$R$ist in der Tat ein endlicher Integralbereich, um diesen Satz zu verwenden, um dies festzustellen$R$ist ein Feld.

Sie könnten das aus Programmierperspektive (die größtenteils identische Logik verwendet) nicht argumentieren. Bedingungen implizieren, dass Sie diesen Codeblock ausführen, wenn die Bedingung wahr ist. Mit anderen Worten, die Aussage, dass der Codeblock ausgeführt wird, ist wahr. Wenn die Bedingung wahr ist. Wenn$P$Dann$Q$ist das gleiche wie$Q$Wenn$P$.

• Lassen$P$Und$Q$Anweisungen – möglicherweise zusammengesetzte Anweisungen – in einem bestimmten Kontext sein. Die Wahrheitsfunktion

  $$P\to Q$$ ist falsch, wenn$P$ist wahr und$Q$falsch und ansonsten wahr, in diesem Fall sagen wir „$P$wahr zu sein impliziert das$Q$wahr ist “ oder „ wenn $P$stimmt dann$Q$ist wahr “ und schreibe $$P\Rightarrow Q.\tag1$$

  Angenommen, Ihnen wurde gesagt, dass "Wenn$P,$Dann$Q$“ ist wahr, sagte aber den Wahrheitswert von beidem nicht$P$noch$Q.$Sie würden dann davon ausgehen, dass dies bewiesen ist$P$ist wahr und$Q$ist wahr, oder?

  Nein, nein, Aussage$(1)$nimmt diese Aussage nicht an und fordert Sie auch nicht auf, diese Aussage anzunehmen$P$ist wahr; wenn wir keine Informationen darüber haben$P$'s Wahrheit, dann Aussage$(1)$hilft uns nicht, darauf zu schließen, ob Aussage$Q$ist wahr und nutzlos.

  Immerhin Aussage$(1)$behauptet nicht, „$P$ist wahr; Folglich$Q$ist wahr."

• Im Kontext der Mathematik die Aussage

  $$P(x) \Rightarrow Q(x)\tag2$$ bedeutet typischerweise „ wenn$P(x)$gilt für einen gewissen Wert von$x,$Dann$Q(x)$gilt für den gleichen Wert von$x$“, das heißt , das $$P(x)\to Q(x)$$ ist allgemeingültig.

  Viele mathematische Theoreme sind von dieser Form. Die Anwendung eines solchen Theorems behauptet dies im Grunde$P(c)$stimmt, und das seit$P(c)\Rightarrow Q(c),$von Modus Ponens,$Q(c)$muss also stimmen.

Auf der anderen Seite der Prozess des Beweisens der Aussage$(1)$oder$(2)$ gehört dazu , davon auszugehen$P$oder$P(x)$ist wahr.