Beweise mit Tautologien

„Eine offensichtliche Wahrheit erreichen“ (wie z$p\to p$ro$1=1$) ist eine gültige Beweismethode , wenn die zum Erreichen dieser offensichtlichen Wahrheit verwendeten Schritte Äquivalenztransformationen sind. Das heißt, wenn Ihr Argument geht wie

$A_1$ist äquivalent zu$A_2$, was gleichbedeutend ist mit$A_3$,$\ldots$, was gleichbedeutend ist mit$A_n$, was eine Tautologie ist

dann hast du es bewiesen$A_1$. Sie müssen jedoch aufpassen, dass sich kein einziger "ist äquivalent"-Schritt als nur ein "impliziert"-Schritt entpuppt. Andererseits brauchen wir nicht einmal Äquivalenz, wir brauchen nur eine Richtung – die Rückwärtsrichtung. Daher ist es oft besser, einen Beweis in die andere Richtung zu schreiben:

Wir haben die Tautologie$A_n$. Dies impliziert$A_{n-1}$.$\ldots$Dies impliziert$A_3$. Dies impliziert$A_2$. Dies impliziert$A_1$, wie gewünscht.

Das „von$A_1$Zu$A_n$"-Methode ist vielleicht am besten geeignet, um einen Beweis zu finden , aber "aus$A_n$Zu$A_1$" (das dann ein direkter Beweis sein kann) eignet sich am besten, um einen Beweis zu präsentieren (und gleichzeitig um Lücken im Beweis zu entdecken, weil es einfacher wird, Schritte zu erkennen, die keine Äquivalenzen sind).

Wenn Sie untersuchen und entdecken, wie Sie eine Aussage beweisen können, möchten Sie untersuchen, indem Sie versuchen, die Schlussfolgerung auf eine Aussage aus der Hypothese zu reduzieren. Auf diese Weise können Sie sehen, wie die Schlussfolgerung mit der Hypothese zusammenhängt, und anhand dieser Verbindung Ihren Beweis schreiben.

Wenn Sie jedoch Ihren Beweis schreiben, gehen Sie immer von der Hypothese bis zur Schlussfolgerung aus. Das macht einfach Sinn: Sie können Ihre Schlussfolgerung nicht annehmen und die Hypothese beweisen, weil das nur rückwärts ist. Der$\epsilon-\delta$Artikel, den Sie gelesen haben, hatte tatsächlich die richtige Begründung dafür, warum die Grenze wahr war, und verstanden die Bedeutung der$\epsilon-\delta$Grenze, aber es hatte keinen tatsächlichen Beweis. Es zeigte nur irgendwie , dass die Aussage wahr war, indem es die Verbindung zwischen der Hypothese und der Schlussfolgerung zeigte. Es hat nicht wirklich bewiesen, wie die Hypothese die Schlussfolgerung impliziert, also war es kein echter Beweis. Angesichts dieser Verbindung können wir jedoch unseren eigenen direkten Beweis erstellen:

Für alle$\epsilon > 0$. Wir können wählen$\delta=\frac \epsilon 3$so dass wenn$0 < \lvert x-5\rvert < \delta$, Dann$\lvert f(x)-3 \rvert < \epsilon$. Wir werden dies nun direkt beweisen. Wir beginnen mit unserer Hypothese:

$$0 < \lvert x-5\rvert < \frac \epsilon 3$$

Dies ist eigentlich eine UND-Anweisung:$0 < \lvert x-5\rvert$Und$\lvert x-5\rvert < \frac \epsilon 3$. Allerdings brauchen wir die erste Anweisung seitdem wirklich nicht$f(x)$ist noch bei definiert$x=5$, also können wir einfach die zweite verwenden.

$$\lvert x-5\rvert < \frac \epsilon 3$$

Multiplizieren Sie beide Seiten mit$3$.

$$\lvert 3x-15\rvert < \epsilon$$

$3x-15=3x-3-12=f(x)-3$, also ersetze:

$$\lvert f(x)-12\rvert < \epsilon$$

Damit haben wir das gezeigt$0 < \lvert x-5\rvert < \frac \epsilon 3$impliziert$\lvert f(x)-12\rvert < \epsilon$für alle$\epsilon > 0$, was bedeutet, dass wir die Grenze bewiesen haben.

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Beachten Sie, dass wir dieselben Gleichungen und Argumente wie im Artikel verwendet haben, aber wir haben es einfach rückwärts geschrieben. Das Gleiche können wir mit dem Ungleichheitsbeweis machen :

Wir beginnen mit einer offensichtlichen Wahrheit:

$$2 > 1$$

Seit$n$positiv ist, können wir beide Seiten mit multiplizieren$n$:

$$2n > n$$

Fügen Sie beide Seiten hinzu$n^2$:

$$n^2+2n > n^2+n$$

Faktorisiere die linke Seite und multipliziere die rechte Seite mit$1=\frac{n+2}{n+2}$:

$$n(n+2) > \frac{(n^2+n)(n+2)}{n+2}$$

Seit$n$ist positiv, ist es auch$n+2$, also können wir beide Seiten durch teilen$n+2$:

$$n > \frac{n^2+n}{n+2}$$

Multiplizieren Sie die linke Seite mit$1=\frac{n+1}{n+1}$und faktorisiere die rechte Seite:

$$\frac{n(n+1)}{n+1} > \frac{n(n+1)}{n+2}$$

Teilen Sie beide Seiten durch$n+1$:

$$\frac{n}{n+1} > \frac{n}{n+2}$$

So haben wir gezeigt$\frac{n}{n+1} > \frac{n}{n+2}$mit offensichtlichen Aussagen, die Hypothese von$n > 0$, und die Gesetze der Manipulation von Ungleichheiten, also muss es wahr sein.

Beachten Sie, dass ich die gleichen Ungleichungen wie im ersten Beweis habe, aber sie sind in der umgekehrten Reihenfolge geschrieben und ich habe meine Argumentation zwischen jedem Schritt hinzugefügt. Der erste Beweis zeigt nur, dass die Aussage wahr ist, indem er uns zu der Verbindung führt, aber der obige Beweis ist ein tatsächlicher, strenger, direkter Beweis.