Kämpfe immer noch darum, leere Wahrheiten zu verstehen

Ich habe mich nie mit der Definition der materiellen Implikation allein im Rahmen der Aussagenlogik zufrieden gegeben. Die einzig wirklich wichtigen Dinge im Kontext der Aussagenlogik sind die$T \Rightarrow T$ist wahr und$T \Rightarrow F$ist falsch. Es fühlt sich an wie die Wahrheitswerte von$F \Rightarrow T$Und$F \Rightarrow F$werden einfach nicht durch unsere Intuition über Implikationen spezifiziert. Warum sollte schließlich „wenn der Himmel grün ist, dann sind die Wolken rot“ wahr sein?

Aber in der Prädikatenlogik ist das anders. In der Prädikatenlogik möchten wir sagen können$\forall x (P(x) \Rightarrow Q(x))$und habe die$x$dafür ist$P(x)$falsch ist, beeinträchtigt nicht die Wahrheit der Aussage.

Betrachten Sie zum Beispiel „unter allen ganzen Zahlen alle Vielfachen von$4$sind gerade". Diese Aussage ist wahr, obwohl$1$ist nicht gerade (eine Instanz von$F \Rightarrow F$). Es stimmt aber auch$2$ist sogar, obwohl es kein Vielfaches von ist$4$(eine Instanz von$F \Rightarrow T$).

Aber jetzt in der klassischen Logik hat jede Aussage einen einzigen Wahrheitswert. So ist die einzige Möglichkeit zu definieren$\forall x R(x)$ist „für alle$x$,$R(x)$ist wahr". Wir können es nicht anders definieren, wie "für alle$x$, entweder$R(x)$stimmt bzw$R(x)$ist zu unsinnig, um einen Wahrheitswert zu haben.“ Somit stecken wir fest bei der Definition$F \Rightarrow T$Und$F \Rightarrow F$um beide wahr zu sein, wenn$\forall x (P(x) \Rightarrow Q(x))$wird sich so verhalten, wie wir wollen.

In einem anderen Logiksystem könnten wir die Dinge anders machen. Aber in der klassischen Logik ist „jeder Satz hat einen Wahrheitswert“ im Grunde ein Axiom.

Da wir die wollen$\rightarrow$Um die Idee einer 'wenn ... dann ...'-Aussage einzufangen, scheint es vernünftig, darauf zu bestehen$P \rightarrow P$ist eine wahre Aussage, egal was$P$ist, und somit egal, welchen Wahrheitswert$P$hat.

Also, wenn$P$False ist, dann bekommen wir$\boxed{F \rightarrow F = T}$

Es ist ebenfalls vernünftig, darauf zu bestehen$(P \land Q) \rightarrow P = T$, wieder egal was$P$Und$Q$Sind.

Also, wenn$P$ist wahr, und$Q$falsch ist, erhalten wir:$(T \land F) \rightarrow T = \boxed{F \rightarrow T = T}$

Andere Male sehe ich "Nun, es ist nur so definiert, weil es nützlich ist" ... ohne Beispiele dafür, wie es tatsächlich nützlich ist

OK, dann geben wir ein Beispiel für einen realen Anwendungsfall. Ich bin von Beruf Computerprogrammierer, aber ich beschäftige mich auch mit dem Metaproblem, woher wir wissen, wann ein Programm korrekt ist . Das heißt, ich verwende statische Analysen , um Programme zu verstehen; "impliziert", wie es definiert ist, ist bei dieser Analyse äußerst nützlich.

Nehmen wir an, ich habe eine Liste von ordersund einen Verweis auf a customer, und ich weiß zufällig, dass, wenn der Verweis gültig ist, die Liste mindestens eine Bestellung enthält :

if (customer != null)
{
  Assert(orders.Count() > 0);
  Print(orders.First());
}

„Assert“ lässt das Programm abstürzen, wenn die Bedingung falsch ist.

Nennen wir ein Computerprogramm, das ein "F"-Programm zum Absturz bringt, und eines, das ohne Absturz läuft, ein "T"-Programm.

Schauen wir uns nun die Wahrheitstabelle dieses kleinen Programmfragments an.

cust != null  orders.Count() > 0  Program classification
-----------------------------------------------------
True          True                 T -- because the assertion succeeds
True          False                F -- because the assertion crashes
False         True                 T -- because the assertion never runs at all
False         False                T -- because the assertion never runs at all

Nehmen wir nun an, wir hätten einen impliesOperator in dieser Sprache. Wir möchten in der Lage sein, unser Programm so umzuschreiben

Assert(customer != null  implies  orders.Count() > 0);
if (customer != null)
{
  Print(orders.First());
}

ohne die Kategorisierung des Programms zu ändern. Um die Bedeutung des Programms beizubehalten, A implies Bmuss die Wahrheitstabelle des binären Operators dieselbe sein wie (NOT A) OR B.

Aus diesem Grund ist "impliziert", wie es definiert ist, nützlich. Es lässt uns genau und prägnant über die Korrektheit von Computerprogrammen nachdenken, die bedingte Anweisungen enthalten .

Nun könnten Sie argumentieren, dass „impliziert“ das falsche Wort ist, weil „impliziert“ mit einer Bedeutung durchdrungen ist, die Ihrer Meinung nach nicht mit dieser Wahrheitstabelle übereinstimmt. Aber das ist eine Tatsache über Ihre Intuition; es ändert nichts an der Tatsache, dass dieser Operator nützlich ist, um logisch über die Korrektheit von Programmen zu folgern.

In diesem Fall ist es wahrscheinlich eine gute Idee, sich (klassische) Implikation als Inklusion in folgendem Sinne vorzustellen:

$\varphi \Rightarrow \psi$hält, wenn die Menge der Zeugen von$\varphi$ist eine Teilmenge der Zeugen von$\psi$.

Ein Beispiel:

Wenn eine natürliche Zahl eine Primzahl größer als ist$2$, dann ist die Zahl ungerade.

Dies läuft darauf hinaus zu sagen, dass die Menge der Primzahlen größer als ist$2$ist eine Teilmenge der ungeraden natürlichen Zahlen.

Der Satz von Zeugen von$\textsf{false}$ist die leere Menge$\emptyset$.

Folglich,$\textsf{false} \Rightarrow \psi$ist wahr, wenn$\emptyset$ist eine Teilmenge der Zeugen von$\psi$. Und das ist natürlich immer so.

Erstens denke ich, dass die Art und Weise, wie „Implikation“ definiert wird, eine Konvention ist – ich kann mir keinen Beweis dafür vorstellen, dass Implikation so definiert werden sollte , wie sie ist. Ich nehme an, es ist der Art und Weise nachempfunden, wie Menschen traditionell über "wenn ... dann ..." -Aussagen denken.

Also, hier ist, wie ich darüber denke.

Angenommen, ich sage Ihnen,

Wenn es regnet, leihe ich dir einen Regenschirm.

Nun, wenn es nicht regnet, hätte ich dich dann anlügen können? Ich denke, meine Aussage kann nur als unwahr angesehen werden, wenn es regnet und ich Ihnen meinen Regenschirm nicht gebe. Und da logische Aussagen immer entweder wahr oder falsch sind, müssen alle Aussagen, die nicht falsch sind, wahr sein (in diesem Fall „Regen und Regenschirm geben“ und „Nicht regnen und [geben oder nicht geben]“).

Also, ich denke an leere Wahrheit als eine Art „Anwaltswahrheit“ (sorry, all ihr Anwälte da draußen!); Technisch gesehen hat niemand gelogen, also stimmen wir zu, dass sie die Wahrheit gesagt haben.

Wie auch immer, das ganze Geschäft mit der "leeren Wahrheit" ist für mich persönlich ziemlich strittig, weil ich mich nur wirklich darum gekümmert habe, Implikationen zu verwenden, wenn es an der Zeit ist, Dinge zu beweisen, und dies erfordert Modus Ponens ; Sobald wir es wissen$P$, und das$P \implies Q$, Wir wissen das$Q$hält auch. Also ich finde wenig Verwendung für$P \implies Q$Aussagen, wann$P$ist nicht wahr.

Es kann auch nützlich sein, Falschheit operativ zu denken: Wenn ein Aussageschema falsch ist, gibt es eine Zuordnung der Variablen im Schema, die ein Zeugnis für die Falschheit liefert. Ein nicht-propositionales Beispiel im Universum der ganzen Zahlen ist "$x = 5$“, was, wie der Auftrag bezeugt, falsch ist$x \mapsto 0$.

Das Aussagenschema$X \implies Y$hat die Variablen$X$Und$Y$und diese nehmen Werte im Universum der Sätze an. Schauen wir uns also die Beziehung von an$X$Zu$Y$quer durch die Diskursuniversen. Ich entscheide mich dafür, diese Beziehungen mithilfe von Venn-Diagrammen darzustellen. In diesen schematischen Diagrammen stellen Punkte Universen dar, die farbigen Regionen enthalten (alle) Punkte, an denen die Aussage, die die Region bezeichnet, wahr ist. Zuerst behandeln wir die nichtleeren Fälle.

Hier, jedes Universum in dem$P$stimmt auch hat$Q$ist wahr. Folglich gibt es keinen Zeugen für die Unwahrheit von$P \implies Q$. Wenn wir uns also in einem Universum befinden, in dem$P$stimmt, wir sind in einem Universum wo$Q$ist wahr.

Nun ein Paar von Beziehungen, die wir gleichzeitig diskutieren können.

In beiden gibt es Universen, in denen$P$ist wahr und$Q$ist falsch. (Nachdem ein Zeuge gefunden wurde, besteht keine Notwendigkeit, die anderen Universen zu inspizieren, zum Beispiel wo$P$ist falsch und$Q$ist wahr.) Jeder von ihnen ist ein Zeuge der Falschheit von$P \implies Q$, also ist die Implikation falsch. Wenn wir uns also in einem Universum befinden, in dem$P$ist wahr,$Q$muss nicht wahr sein.

Schließlich kommen wir zum Thema Ihrer Frage, Implikation mit einem leeren Vorwort.

$P$ist immer falsch – das heißt, es gibt kein Universum, in dem$P$ist wahr. Folglich gibt es keine Zeugen für die Falschheit der Implikation$P \implies Q$. Deshalb,$P \implies Q$ist wahr.

"Jedes Mal, wenn ich mir beide Hände mit einem Holzlöffel abgehackt habe, sind flauschige Welpen aus den Stümpfen gequollen und ich habe Stunden damit verbracht, sie zu streicheln." Da ich mir noch nie beide Hände mit einem Holzlöffel abgeschnitten habe, gibt es keinen Beweis für die Unwahrheit und der Satz ist wahr.

Beachten Sie, dass es absolut nichts darüber aussagt, was wann passiert$p$ist falsch. Wenn$p$ist falsch,$q$kann wahr sein, kann falsch sein, oder Sie könnten das behaupten$1+1=3$, und doch verfälscht nichts davon die Implikation, da es nur über den besonderen Fall spricht, wenn$p$ist wahr. So lange wie$q$ist immer wahr$p$wahr ist, ist die Implikation wahr.

Jetzt haben wir

Hier die Vorgeschichte,$F$, ist falsch. Einfach per Definition ist falsch „nicht wahr“, und daher reicht es, egal was Sie behaupten, wenn „falsch wahr ist“, nicht aus, die Implikation zu verfälschen, weil falsch niemals wahr sein kann. Das heißt: „Wenn falsch wahr wäre,$q$wahr wäre", aber da falsch niemals wahr ist, spielt es keine Rolle, was$q$ist - Ihre Implikation ist wahr, solange$q$ist immer dann wahr , wenn falsch wahr ist .

Betrachten Sie ein konkretes Beispiel. Lassen$p(x)$bezeichnen "$x$ist eine gerade Primzahl größer als$2$", Und$q(x)$bezeichnen "$x\gt10$" über Ganzzahl$x$.

Was ist nun die Menge der ganzen Zahlen, die erfüllt sind?$p(x)$? Lassen Sie diesen Satz sein$S$. Offensichtlich ist die Menge die leere Menge,$S=\phi$. Die Implikation besagt, dass Folgendes wahr sein muss:$\forall x\in S, q(x)=T$. Für die Implikation gilt, jeder$x$In$S$befriedigen muss$q(x)$.

Hier gibt es keine$x$so dass$x\in S$. Der gesamte Zustand selbst verschwindet also. Die Implikation ist wahr, unabhängig vom Wahrheitswert von$q(x)$auf jeder ganzen Zahl$x$, da keiner dazugehört$S$.

Ich habe diese Frage vor einiger Zeit auf dem Philosophy Stack Exchange angesprochen. Der allgemeine Kern meiner Antwort war, dass wir ⟹ so definiert haben, weil es wirklich die einzig vernünftige Art war, es zu definieren. Alle anderen Bedeutungen, die Sie ihm geben könnten, waren entweder völlig falsch oder könnten als existierender Operator geschrieben werden.

Sie nennen diese Denkweise in Ihrer Frage. Meine Antwort zeigt, dass es sinnlos ist, alle drei anderen Umbenennungen (FF, FT, TT) hinzuzufügen, da wir bereits Symbole haben, die genau diese Wahrheitstabellen haben. Somit wird das Argument, dass es wertvoller ist, ein Symbol für eine bestimmte Operation zu haben, als das Symbol nicht zu haben.

Was Sie von dieser Frage erwarten, ist ein Argument, dass es keine andere mögliche Bedeutung für ein Symbol gibt, was albern ist. Es ist offensichtlich, dass es andere Bedeutungen dafür geben könnte. Ich könnte wählen, es als Zusatz zu deklarieren: 2 ⟹2 = 4. Es sind nur ein paar Zeilen. Ich kann sie dazu bringen, zu bedeuten, was ich will. Ich kann ⟹gemein werden 2, wenn ich wirklich will. Sie werden kein Argument finden, das ⟹irgendetwas bedeuten muss, weil es keinen Grund gibt, dass es überhaupt etwas bedeuten muss. Es ist reine Konvention.

Der Ort, an dem dies interessant wird, ist das natürlichsprachliche Konzept „wenn X, dann Y“, das typischerweise als übersetzt wird X⟹Y. Der Trick besteht darin, dass wir als Mathematiker diese Wahl der Symbologie nützlich finden. Wir hätten sagen können, dass das X⟹Ykeine Aussage hervorbringt, die einen Wahrheitswert hat. Dann könnten wir niemals schreiben X⟹(Y⟹Z), und hier werden die leeren Wahrheiten interessant. Wenn wir davon ausgehen, dass es sich ⟹um einen binären Operator handelt, der einen Wahrheitswert liefert, müssen wir die Wahrheitstabelle dafür definieren. Und da geht meine Antwort hin.

Es ist nichts Falsches daran zu sagen: „Ich glaube nicht, dass ⟹ einen Wahrheitswert erzeugen sollte.“ Alles, was Sie tun, ist, alle anderen zu zwingen, die glauben, dass es einen Wahrheitswert erzeugen sollte, ¬p∨qüberall zu schreiben, wo sie zuvor geschrieben haben p⟹q, weil sie geschrieben haben, was sie schreiben wollten.

Vielleicht hilfreich ist auch der Implikationsoperator ⊢. Es ist faszinierend, weil es kein Operator in der Prädikatenlogik ist. Es ist ein Metaoperator. Sein Verhalten ist überhaupt nicht in der Prädikatenlogik definiert. Er hat keinen Wahrheitswert, und tatsächlich ist die linke Seite des Operators eine Menge von Aussagen, ein Konzept, das die Prädikatenlogik nicht einmal beschreiben kann. Es zeigt, was passiert, wenn Sie versuchen, einen Operator als etwas außerhalb des Systems zu definieren, anstatt ihn als etwas innerhalb des Systems zu definieren (dh äquivalent zu ¬p∨q). Wenn Sie über diese Operation lesen, können Sie verstehen, warum Menschen sich entschieden haben, Dinge so zu definieren, wie sie es getan haben.

Ich habe meine Antwort unten wiedergegeben:

Warum schließen wir, wenn A falsch und B falsch ist, dass A->B wahr ist?

Die kurze Antwort lautet: „Weil wir die Operatoren definieren mussten und wir ->diese Eigenschaft definieren mussten. Es hat sich als praktisch erwiesen. Als allgemeine Regel können Sie davon ausgehen, dass jeder einzelne mögliche Operator zu einem bestimmten Zeitpunkt untersucht wurde und was Wir haben das Set übrig, das am besten funktioniert hat.

Eine wichtige Sache, die Sie sich merken sollten, ist, dass es ->sich nicht um den "impliziert"-Operator handelt. Dieser Operator ist ⊢, und er hat die Bedeutung, die Sie aus dem umgangssprachlichen Englisch gewohnt sind. ->ist ein anderes Konzept.

Schauen wir uns ein paar Fälle an. Hier ist eine Wahrheitstabelle, die den Fall enthält, wo Awahr ist, weil wir uns alle einig sind, wie dieser Teil der Tabelle aussehen sollte:

A->B    B
       F T
     +----
 A F | ? ?
   T | F T

Offensichtlich haben wir vier mögliche Ersetzungen für die Fragezeichen: T T T F F Tund F F. Davon können wir zwei direkt ablehnen. Überlegen Sie, ob wir F Toder verwenden T F:

(a)A->B             (b)A->B
        B            B
       F T          F T
     +----         +----
 A F | F T     A F | T F
   T | F T       T | F T

Wenn der Operator als (a) fungiert, wird die Wahrheitstabelle einfach. A->Bwäre einfach wahr, wenn B. Es wäre wertlos, jemals zu schreiben, A->Bwenn es genau die gleiche Bedeutung wie Schreiben hätte B. Option (b) kann auch ziemlich einfach verworfen werden. Es gibt zwei Probleme damit. Ein großes Problem ist, dass wir bereits einen Operator mit dieser Wahrheitstabelle haben: A=B. Das andere ist, dass in diesem Fall F->Fwahr ist, was das Problem ist, das Sie ->überhaupt mit der normalen Bedeutung von hatten!

Dies lässt zwei Wahrheitstabellen zu erkunden

(c)A->B             (d)A->B
        B            B
       F T          F T
     +----         +----
 A F | T T     A F | F F
   T | F T       T | F T

Option (c) ist die akzeptierte Bedeutung von ->. Option (d) liefert keinen Wert, da wir bereits einen Operator mit dieser Wahrheitstabelle haben, den Konjunktionsoperator A∧B.

Somit hat von allen Operatoren, die das "gesunde" Verhalten haben, wenn Awahr ist, nur die akzeptierte Lösung, Option (c), irgendeinen Wert als Operator.

hinzugefügt von barlop
nützliche verwandte Frage erwähnt von Mauro
https://philosophy.stackexchange.com/questions/14549/what-is-the-relation-between-the-material-conditional-in-logic-and-conditionals

Angenommen, wir wüssten das$A \implies B$ist wahr. Teil der Semantik ist das if$A$zufällig wahr ist, dann können Sie schlussfolgern$B$stimmt auch.

Was ist, wenn Sie in einer Situation sind, in der$A$ist falsch? Die Implikation ist leer – Sie sollten in dieser Situation überhaupt nichts Neues lernen können!

Wenn du hättest$(F \implies F) \equiv F$, dann in einer Situation, wo$A$falsch ist, dann können Sie davon ausgehen, dass es unmöglich ist$B$auch falsch sein – das heißt, Sie können schlussfolgern$B$muss stimmen!

Ebenso, wenn Sie hatten$(F \implies T) \equiv F$, dann in einer Situation, wo$A$falsch ist, könnte man daraus schließen$B$muss falsch sein.

Setzen Sie diese beiden Wahrheitswerte auf$T$Nur so können Sie keine neuen Informationen aus der Kombination der Tatsachen lernen$A \implies B$stimmt damit, dass$A$ist falsch.

Lassen Sie mich dies an einem Beispiel demonstrieren.

Erstens nehme ich an, dass wir uns alle darauf einigen können, dass die folgende Implikation wahr ist:

$x=2 \implies x+1 = 3$

Nehmen wir nun an, wir wollten das folgende Problem lösen:

Löse die Gleichung$x + 5 = 10$

Wir können wie folgt vorgehen:

$x=2$muss stimmen, denn das ist der einzige Weg für$x=2 \implies x+1 = 3$wahr sein.

Jedoch,$x=2$ist keine Lösung für$x+5 = 10$, Deshalb$x+5 = 10$hat keine Lösungen.

Um all den großartigen Antworten hinzuzufügen, möchte ich die Bedeutung des Symbols für materielle Implikationen rechtfertigen$P \Rightarrow Q$durch Berufung auf persönliche Beleidigung. Wenn jemand sagt „Ich gehe immer ins Kino, wenn es regnet“ (was übersetzt heißt: „Wenn es regnet, gehe ich ins Kino“), wie sollten wir je nach Regen und Film schauen reagieren? Der Hauptteil davon ist sicherlich, dass wir furchtbar sauer auf die Person sein sollten, wenn es regnet, sie aber nicht im Kino ist.

Aber Ihre Frage bezieht sich nur darauf, wann es nicht regnet. Angenommen, die Person ist im Kino? Sollen wir sauer sein? Natürlich nicht. Wen interessiert es, ob sie einen Film sehen, wenn es nicht regnet, sie lügen nicht darüber. Angenommen, die Person ist nicht im Kino. Nochmals, wen interessiert es, führen sie Sie in die Irre, indem sie nicht im Kino sind, besonders wenn es nicht regnet? Das ist das "Lügen sie?" Test für logische Semantik.

Das halte ich persönlich für unstrittig$F \Rightarrow F = T$, hauptsächlich durch Analogie zum englischen Sprachgebrauch, denn das ist oft eine reale Erwartung, nämlich dass, wenn Sie eine Richtung sagen, Sie auch die andere Richtung vorschlagen.

Diese Blätter$F \Rightarrow T$für mich die fragwürdigere sein. In gewisser Weise könnten wir beschließen, darüber sauer zu sein; Vielleicht möchten wir, dass die Aussage symmetrisch ist. Ich denke, es wäre nicht unvernünftig (im humanistischen Sinne), Symmetrie zu erwarten. Aber dann wäre das Symbol nicht so nützlich, weil wir viele andere Dinge daraus ableiten könnten. Haben$F \Rightarrow T = T$macht es einfach einfacher, die Dinge logisch zu manipulieren und produziert einfachere Beweise und passt etwas besser zu unserer Intuition (ich habe nicht unterstützt, warum dies der Fall ist, nur dass die 'Erfahrung gezeigt' hat, dass es der Fall ist. Wie warum oder$0^0 = 1$, es ist eine vernünftige Wahl, die das Leben später einfacher macht (unter den meisten Umständen).

Aus diesem Grund ist es wirklich so, dass wir wollen , dass die Wahrheitstabelle den einzigen F-Wert hat, der for ist$T \Rightarrow F$.

(vergleiche mit einer Wahrheitstabelle für 'oder' =$\lor$In ähnlicher weise.

Beachten Sie, dass wir, wie Sie angedeutet haben, absichtlich ein neues Symbol erfinden und erschaffen$\rightarrow$mit gegebenen strengen Eigenschaften, und es so zu erstellen, dass es nützlich ist. Es entspricht also möglicherweise nicht der alltäglichen Intuition oder Verwendung des natürlichen Sprachmusters "Wenn P, dann Q". Es ist nur bei den anderen Symbolen der Fall '$\land$' für 'und' und '$\lor$' für 'or', aber diese Entsprechungen sind leichter zu akzeptieren, weil sie so viel enger sind (aber immer noch auf eine Weise nuanciert sind, die Sie vielleicht nicht erwarten würden). Tatsächlich steht „oder“ zu Beginn des 20. Jahrhunderts am Ende der mathematischen Philosophiekriege.

Beginnen wir mit Ihrem Beispiel „3 = 5“.

Wenn das stimmt, dann können wir von beiden Seiten 3 subtrahieren und erhalten „0 = 2“, was ebenfalls wahr sein muss. Teilen Sie beide Seiten durch zwei, und Sie erhalten "0 = 1", was auch wahr sein muss.

Nehmen Sie nun zwei beliebige Zahlen x und y. 0·x = 0 und 0·y = 0, also 0·x = 0·y. Aber wir haben gerade gezeigt, dass 0 = 1. Also 0·x = 1·x und 0·y = 1·y, also 1·x = 1·y oder x = y. Wir haben gerade gezeigt, dass zwei beliebige Zahlen x und y gleich sind.

Wussten Sie, dass wir jedes Jahr genau gleich viel Geld verdienen? Ganz offensichtlich, denn wenn Sie Ihr Einkommen x aufschreiben und ich mein Einkommen y aufschreibe, haben wir gerade gezeigt, dass x = y. Ich verdiene auch eine Million mehr, denn wenn Sie x schreiben, was Ihr Einkommen plus eine Million ist, und ich y schreibe, was mein Einkommen ist, dann ist wieder x = y.

Ich denke, Sie können sehen, wie Sie alles beweisen können, wenn Sie einfach "3 = 5" für bare Münze nehmen, ohne dass ausgefallene Beweise erforderlich sind, nur einfache naive Logik.

Sie zitieren die Definition des Symbols$\implies$. Da eine Definition die Bedeutung eines Symbols festlegt, gibt es keinen Beweis für seine Richtigkeit.

Ich verstehe nicht warum$(F \implies F) \equiv T$Und$(F \implies T) \equiv T$.

Die Antwort mag sich dennoch nicht befriedigend anfühlen$(F \implies F) \equiv T$weil es so definiert ist. Wenn es Ihnen nicht gefällt, können Sie Ihr eigenes Symbol mit einer Definition definieren, die sich für Sie vernünftiger anfühlt.

Was motiviert Menschen also, diese Definition anderen vorzuziehen? Wenn Sie Ihr eigenes Symbol definieren, haben Sie wahrscheinlich eine Interpretation im Kopf, um es so und nicht anders zu definieren. Wenn Sie an mögliche Interpretationen für das Traditionelle denken$\implies$Sie werden leicht auf Interpretationen kommen, die diese bestimmte Definition nahelegen. Dieser Thread erwähnt Mengen, statische Analyse von Computerprogrammen und natürliche Sprache als mögliche Interpretationen. Dem Leser steht es jedoch frei, eine Interpretation nach seinem Geschmack oder gar keine zu wählen. (Zum Beispiel: Die Antwort von Bram28 delegiert keine Interpretation). Weder kann jemand Sie zwingen, die zu ihrer Interpretation passende Definition zu wählen, noch Ihnen beweisen, dass es die richtige Definition ist. Und tatsächlich gibt es Meinungsverschiedenheiten (über Interpretationen) unter den Antworten:

Vergleichen

Warum sollte schließlich „wenn der Himmel grün ist, dann sind die Wolken rot“ wahr sein?

Und

Ich denke, die einzige Möglichkeit, wie meine Aussage [Wenn es regnet, leihe ich dir einen Regenschirm.] als unwahr angesehen werden kann, ist, dass ich dir meinen Regenschirm nicht gebe, wenn es regnet.

Und

Dies wird gelesen als "p impliziert q" und bedeutet, dass "wenn p wahr ist, dann ist q wahr". Beachten Sie, dass es absolut nichts darüber aussagt, was passiert, wenn p falsch ist.

Die natürliche Interpretation, das heißt "$(p \implies q)$" ist zu verstehen als "wenn p dann q", scheint am umstrittensten zu sein. Keiner scheint mit der Satzinterpretation nicht einverstanden zu sein.

Zusammenfassend gibt es keine Möglichkeit zu zeigen$(F \implies F) \equiv T$. Es gibt nur motivierende Interpretationen, die nahelegen, eine Sache auf eine bestimmte Weise zu definieren.

Ich beginne mit folgendem Satz:

Satz. Wenn$1$eine gerade Zahl ist, dann sind alle positiven ganzen Zahlen gerade.

Nachweisen. Induktion.

Ist der obige Satz wahr oder falsch?

Sätze in der Mathematik haben normalerweise die Form$A\to B^{[1]}$. Was bedeutet es also, den obigen Satz zu beweisen ? Logisch geschrieben, wollen wir$\vdash A\to B$, was bedeutet$A\to B$kann in der Theorie bewiesen werden. In der Praxis gehen wir davon aus$A$und dann beweisen$B$aus$A$, dh$A\vdash B$(das haben wir getan, als wir oben "Induktion" geschrieben haben, wir verwenden ausdrücklich die Prämisse "$1$ist gerade" als Basis der Induktion). Das sagt uns der Deduktionssatz$A\vdash B$impliziert$\vdash A\to B$. (Die Umkehrung dieses Satzes wird durch Modus Ponens bewiesen.)

Jedes vernünftige System sollte nur wahre Theoreme beweisen, und das ist beim Aussagenkalkül der Fall. Somit ist der obige Satz wahr, obwohl er von der Form ist$F\to F$.

Die Moral ist das$A\to B$sollte wahr sein, wenn wir Beweise dafür liefern können$B$vorausgesetzt$A$.

Aber brauchen wir wirklich Sätze wie oben? Die Antwort ist ja! Nun, ok, es ist dumm, Theoreme zu haben, bei denen bekannt ist, dass die Prämisse falsch ist, aber was, wenn wir nicht wissen, ob sie falsch ist oder nicht? Hier ist ein nützliches Theorem:

Satz. Wenn$V$ist ein Vektorraum$^{[2]}$, Dann$V$hat eine Basis.

Und was wäre wenn$V$ist ein Modul, das kein Vektorraum ist? Wird der Satz irgendwie falsch? Nein. In diesem Fall spielt es keine Rolle, ob die Schlussfolgerung "$V$hat eine Basis" wahr oder falsch ist, ist die Aussage selbst wahr, weil es einen Beweis dafür gibt$^{[3]}$. Es wäre lächerlich, wenn das Theorem seine Gültigkeit ändern würde, basierend auf dem, worauf wir versuchten, es anzuwenden.

Schauen Sie sich ein anderes Beispiel an:

Satz. Wenn die Riemann-Hypothese wahr ist, dann [Magie].

Es ist wichtig, die Konsequenzen der Riemann-Hypothese oder anderer interessanter Vermutungen zu untersuchen, ob sie wahr sind oder nicht. Wenn sich die Riemann-Hypothese als nicht wahr herausstellt, werden Sätze der obigen Form nutzlos, aber nicht falsch.

TL;DR: Mathematik wäre sehr seltsam, wenn$F\to F$Und$F\to T$wäre nicht wahr.

$[1]$Dies ist zu stark vereinfacht, da es hier keine Quantifizierung gibt, aber ertragen Sie es mit mir.

$[2]$Fügen Sie bei Bedarf endlichdimensional hinzu.

$[3]$Es sei denn, ZFC ist inkonsequent. Hoffentlich ist es das nicht.

Interessant fand ich die Diskussion auf Seite 4 des Buches Advanced Calculus von Loomis und Sternberg, das ich im Folgenden wörtlich zitieren werde:

Wir kommen jetzt zu dem lästigen 'if ... , then ... '-Konnektiv, das wir entweder als 'if P, then Q' oder schreiben$P \implies Q$. Dies wird fast immer im allgemein quantifizierten Kontext angewendet$(\forall x)(P(x) \implies Q(x))$, und seine Bedeutung wird am besten durch eine Studie dieser Verwendung enträtselt. Wir betrachten 'wenn x < 3, dann x < 5' als einen wahren Satz. Genauer gesagt gilt es für alle x, sodass die universelle Quantifizierung$(\forall(x))(x < 3 \implies x < 5)$ist eine wahre aussage. Diese Schlussfolgerung zwingt uns zu der Zustimmung, dass insbesondere$2 < 3 \implies 2 < 5$,$4 < 3 \implies 4 < 5$, Und$6 < 3 \implies 6 < 5$sind alles wahre Aussagen. Die Wahrheitstabelle für '$\implies$' enthält also die unten eingetragenen Werte.

Andererseits betrachten wir '$x < 7 \implies x < 5$' ein falscher Satz sein, und müssen daher zustimmen, dass '$6 < 7 \implies 6 < 5$' ist falsch. Somit ergibt die verbleibende Zeile in der obigen Tabelle den Wert 'F' für$P \implies Q$.