Warum ist dieser Teil des zusammengesetzten Satzes falsch?

$\neg p\lor \neg q\equiv \neg p \vee \neg q \vee(\neg r \wedge \neg q) \\$

Stimmt zwar, eine Richtung der Äquivalenz ist trivial, für die andere Richtung vorausgesetzt$\neg p \lor \neg q \lor (\neg r \land \neg q)$wahr ist, dann müssen wir haben, dass mindestens einer der Disjunkte wahr ist. Nun nehme das an$(\neg r \land \neg q$) stimmt, dann haben wir das sofort$\neg q$ist wahr und so bekommen wir$\neg p\lor \neg q$ist wahr. Wenn das andere Disjunkt wahr ist, dann haben wir eine Trivialität.

Zunächst möchte ich auf einen Fehler in Ihrer Argumentation hinweisen. Du sagst:

ich verstehe das

$$\begin{equation} \begin{aligned} &\equiv \mathbb{F} \vee(p \wedge q) \\ &\equiv(p \wedge q) \end{aligned} \end{equation}$$

das impliziert also

$$\begin{equation} (\neg \boldsymbol{r} \wedge \neg q) \end{equation}$$

ist falsch.

Nein, das folgt nicht. (und offensichtlich$\neg r \land \neg q$ist nicht gleichbedeutend mit$False$)

Halten:$p \lor p \equiv p$... also nach Ihrer Logik müssten wir das haben$p \equiv False$?

Offensichtlich stimmt etwas mit deiner Logik nicht. Was Sie im Kern tun, ist Folgendes:

Wir wissen, dass wenn$\psi \equiv False$, Dann$\phi \lor \psi \equiv \phi$. Aber die Umkehrung gilt nicht : Wenn$\phi \lor \psi \equiv \phi$, Dann$\psi \equiv False$. Tatsächlich machen Sie den logischen Fehlschluss, die Konsequenz zu bestätigen.

OK, aber warum gilt die Umkehrung nicht? Das Folgende wird einige weitere Einblicke geben.

Beachten Sie dies als allgemeines hilfreiches Prinzip$p \lor (p \land q) \equiv p$:

$$p \lor (p \land q) \equiv p$$

$$\overset{Identity}{\equiv}$$

$$(p \land \top) \lor (p \land q)$$

$$\overset{Distribution}{\equiv}$$

$$p \land (\top \lor q)$$

$$\overset{Annihilation}{\equiv}$$

$$p \land \top$$

$$\overset{Identity}{\equiv}$$

$$p$$

Dieser erste Schritt ist ein wenig knifflig, aber Sie können sich das auch so vorstellen:

$p + pq = p(1+q) = p1 = p$

Dieses Prinzip ist so verbreitet, dass es einen Namen hat:

Absorption

$p + pq = p$

und sein Dual:$p(p+q) = p$

Wenn Sie also Absorption auf Ihre Aussage anwenden, erhalten Sie:

$$\neg p \lor \neg q \lor (\neg r \land \neg q)$$

$$\overset{Absorption}{\equiv}$$

$$\neg p \vee \neg q$$

Ja, es ist so einfach. Stellen Sie also sicher, dass Sie die Absorption in Ihr Boolesches Algebra-Toolkit aufnehmen!

Auch wenn Sie sich ansehen, was in einer K-Map passiert, werden Sie sofort bemerken, warum es Absorption heißt: Der eine Term wird vom anderen Term 'absorbiert': deshalb kann er entfernt werden !

Also zurück zu Ihrem früheren Fehler:$p \lor p \equiv p$Nicht weil$p \equiv False$, aber weil die zweite$p$ist bereits von der ersten abgedeckt$p$. Anders gesagt: Das zweite ist es nicht$p$tut doch nix weil das zweite$p$Begriff tut nichts über den ersten Begriff hinaus .

Ebenfalls,$\neg q \lor (\neg r \land \neg q) \equiv \neg q$Nicht weil$\neg r \land \neg q$nichts tut, sondern weil es darüber hinaus nichts tut$\neg q$für sich: die$\neg q$'bedeckt' und 'absorbiert' somit das$\neg r \land \neg q$Begriff