Wie mache ich Beweise mit langen Formeln besser lesbar, ohne die Übersichtlichkeit zu beeinträchtigen?

Question

Wie mache ich Beweise mit langen Formeln besser lesbar, ohne die Übersichtlichkeit zu beeinträchtigen?

Logik
Notation
Mathematik
Korrekturschreiben
Aussagenkalkül

Zehn Uhr vier

Frage

Viele Dinge, die ich gerade zu beweisen versuche, verwandeln sich in eine "Notationshölle", was sie meiner Meinung nach sehr schwer lesbar macht. Ich habe versucht, dies einzuschränken, indem ich davon ausgegangen bin, dass mein Leser versteht, welche Definitionen im Spiel sind, meine Beweise modularisiert und die Erklärung von Schritten übersprungen habe, von denen ich hoffe, dass sie offensichtlich sind. Ich habe auch versucht, Formeln mit Kurznamen umzubenennen (dh $\def\val#1{V_\pli(#1)}\def\p{\phi}\def\q{\psi}\def\s{\vDash_{\tiny\text{PL}}}\def\ns{\nvDash_{\tiny\text{PL}}}\def\pli{\mathscr{I}}\def\aa{\p_1,\,\p_2,\,\ldots,\,\p_n\s\q}\def\ab{\p_1,\,\p_2,\,\ldots,\,\p_n\ns\q}\def\ba{\s\p_n\to(\p_{n-1}\to(\cdots\to(\p_1\to\q)\cdots))}\def\bb{\ns\p_n\to(\p_{n-1}\to(\cdots\to(\p_1\to\q)\cdots))}\s\p_n\to(\p_{n-1}\to(\cdots\to(\p_1\to\q)\cdots)):=\,\s Q),$ aber für Beweise beliebiger Länge scheint es eher verwirrend als hilfreich zu sein. Wie mache ich Proofs lesbarer, ohne die Klarheit zu beeinträchtigen?

Beispiel Beweis

Lassen $\p$ Und $\q$ wffs sein und $n\in\mathbb{N}$ (bitte beachte, dass $0\not\in\mathbb{N}$ ). Wir wollen zeigen $\def\p{\phi}\def\q{\psi}\def\s{\vDash_{\tiny\text{PL}}}\def\ns{\nvDash_{\tiny\text{PL}}}\p_1,\,\p_2,\,\ldots,\,\p_n\s\q$ iff $\s\p_n\to(\p_{n-1}\to(\cdots\to(\p_1\to\q)\cdots))$ .

In (L1) beweise ich beide Richtungen der Biconditional, was ich glaube ich nicht tun muss, weil wir es mit "=" zu tun haben - ist das richtig? Ich denke auch, dass (L1) so einfach ist, dass "durch Inspektion" angemessen ist - ist das fair?

Lemma 1 (L1)

Wir wollen per Induktion zeigen, dass für einige PL-Interpretationen $\pli,$ $\val{\p_n\to(\p_{n-1}\to(\cdots\to(\p_1\to\q)\cdots))}=0$ iff $\val{\p_n}=\val{\p_{n-1}}=\cdots=\val{\p_1}=1$ Und $\val{\q}=0$ .

Basisfall

Wenn $\val{\p\to\q}=0$ dann per definitionem $\val{\p}=1$ Und $\val{\q}=0$ . Wenn $\val{\p}=1$ Und $\val{\q}=0$ , dann per definitionem $\val{\p\to\q}=0$

Induktionshypothese (IH)

Nehmen Sie für einige willkürlich an $k\in\mathbb{N}$ Das $\val{p_k\to(\p_{k-1}\to(\cdots\to(\p_1\to\q)\cdots))}=0$ Und $\val{\p_k}=\val{\p_{k-1}}=\cdots=\val{\p_1}=1$ Und $\val{\q}=0$

Induktionsschritt

Wenn $\val{\p_{k+1}\to(p_k\to(\p_{k-1}\to(\cdots\to(\p_1\to\q)\cdots)))}=0,$ dann, wie wir wissen $\val{p_k\to(\p_{k-1}\to(\cdots\to(\p_1\to\q)\cdots))}=0$ vom (IH), $\val{\p_{k+1}}=1$ . Von der (IH) $\val{\p_k}=\val{\p_{k-1}}=\cdots=\val{\p_1}=1$ Und $\val{\q}=0$ , daher $\val{\p_{k+1}}=\val{\p_k}=\val{\p_{k-1}}=\cdots=\val{\p_1}=1$ Und $\val{\q}=0$
Lassen $\val{\p_{k+1}}=1$ . Von der (IH) $\val{\p_k}=\val{\p_{k-1}}=\cdots=\val{\p_1}=1,$ $\val{\q}=0,$ Und $\val{p_k\to(\p_{k-1}\to(\cdots\to(\p_1\to\q)\cdots))}=0,$ daher $\val{\p_{k+1}\to(p_k\to(\p_{k-1}\to(\cdots\to(\p_1\to\q)\cdots)))}=0$

Nachweis der ersten Richtung (P1)

Nehmen wir für reduction an, dass dies nicht der Fall ist $\aa\implies\ba$
Aus (1) folgt, dass es eine gibt $\def\pli{\mathscr{I}}\pli$ so dass $\def\aa{\p_1,\,\p_2,\,\ldots,\,\p_n\s\q}\def\ab{\p_1,\,\p_2,\,\ldots,\,\p_n\ns\q}\def\ba{\s\p_n\to(\p_{n-1}\to(\cdots\to(\p_1\to\q)\cdots))}\def\bb{\ns\p_n\to(\p_{n-1}\to(\cdots\to(\p_1\to\q)\cdots))}\aa$ Und $\bb$
Aus (2) folgt, dass $\def\val#1{V_\pli(#1)}\val{\p_n\to(\p_{n-1}\to(\cdots\to(\p_1\to\q)\cdots))}=0$
Ab (L1) kann die Bewertung auf (3) nur dann erfolgen, wenn $\val{\p_n}=\val{\p_{n-1}}=\cdots=\val{\p_1}=1$ Und $\val{\q}=0$
Aus (4) folgt, dass $\ab$ , was (2) widerspricht und unsere erste Richtung beweist

Nachweis der zweiten Richtung (P2)

Nehmen wir für reductio an, dass dies nicht der Fall ist $\ba\implies\aa$
Aus (1) folgt, dass es eine gibt $\pli$ so dass $\ba\text{ and }\ab$
Aus (2) haben wir $\ab$ , daher, $\val{\p_n}=\val{\p_{n-1}}=\cdots=\val{\p_1}=1$ Und $\val{\q}=0$
Aus (3) und (L1) folgt, dass $\bb\text{,}$ was (2) widerspricht und unsere zweite Richtung beweist

(P1) und (P2) beweisen also beide Richtungen der Bibedingung $\def\p{\phi}\def\q{\psi}\def\s{\vDash_{\tiny\text{PL}}}\def\ns{\nvDash_{\tiny\text{PL}}}\p_1,\,\p_2,\,\ldots,\,\p_n\s\q$ iff $\s\p_n\to(\p_{n-1}\to(\cdots\to(\p_1\to\q)\cdots))\,\square.$

pancini

Warum müssten Sie nicht beide Richtungen einer bikonditionalen Aussage beweisen? Warum wollen/erwarten Sie, dass der Beweis kurz ist?

Zehn Uhr vier

@Elliot G, für die Gleichheit "x=y und y=x" beweisen Sie also "x=y" und wir bekommen "y=x" kostenlos, was beide Richtungen beweist - zumindest würden wir, wenn dies ein PL-Beweis wäre und ich könnte Seien Sie sicher, dass ich "=" als eine Beziehung behandeln könnte. Außerdem ist die Länge des Beweises nicht das Problem, es ist die Notation, die das Lesen erschwert, das ist das Problem :(

Benutzer2628206

Ob etwas „offensichtlich genug“ ist, um keinen Beweis zu erfordern, hängt von der Zielgruppe/Leserschaft ab. Dies ist eine Entscheidung, die Sie treffen müssen. Zu viele Ergebnisse als offensichtlich zu bezeichnen, kann schwächere Leser Ihres Textes wirklich abschrecken, also achten Sie darauf, wie Ihr Ton beim Leser ankommt. Wenn Sie außerdem mit vielen logischen Formeln arbeiten – haben Sie darüber nachgedacht, ein Abzugssystem einzuführen?

alter Mathematiker

Der Teil, der mich verwirrt, ist "In (L1) beweise ich beide Richtungen der Bibedingung, was ich meiner Meinung nach nicht tun muss, weil wir es mit "

=

$=$ ". Ich kann keine sehen

=

$=$ überall.

Zehn Uhr vier

@ user2628206, das ist ein guter Punkt "offensichtlich genug". Was den zweiten Teil betrifft, so sind die Beweise, die ich derzeit mache, hauptsächlich metalogisch und semantisch, also müsste ich das Deduktionssystem beweisen, und da es neuartig wäre, gehe ich das Risiko ein, die Dinge mehr zu machen verwirrend. Ich habe allerdings darüber nachgedacht, Wahrheitstabellen zu erweitern 🤔

Zehn Uhr vier

@alter Mathematiker, das "=" kommt von der Bewertungsfunktion.

V (P \to Q) = 1

$V(P\to Q)=1$ iff

V (P) = 0

$V(P)=0$ oder

V (Q) = 1

$V(Q)=1$ . Ich habe dies im Basisfall mit "per Definition" angegeben. Offensichtlich ist meine Annahme über das Offensichtliche nicht richtig 😞

alter Mathematiker

OK, ich verstehe. Aber die beiden Dinge, die Sie gleichwertig zeigen müssen, sind unterschiedlich, also die Symmetrie

=

$=$ ist irrelevant.

alter Mathematiker

Ich wäre auch verwirrt über Ihre Verwendung von

:=

$:=$ . Es scheint mir, dass Sie verwenden möchten

Q

$Q$ als Abkürzung für die lange verschachtelte Implikation. Ich dachte, das wäre erledigt

Q := \dots

$Q:=\dots$ und nicht

\dots := Q

$\dots:=Q$ . Und das denke ich

Q

$Q$ sollte sein

Q_{n}

$Q_n$ .

MJD

Vielen Dank, dass Sie Ihr langes, detailliertes Beispiel in Ihre Frage aufgenommen haben. Ohne das hätte ich keine detaillierte und spezifische Antwort schreiben können.

Zehn Uhr vier

@alter Mathematiker, es hätte "Q:=..." sein sollen, das war ein Hirnfurz 😆. Ich nehme an, ich denke, weil es nur einen Weg gibt, wie eine Bedingung falsch sein kann,

[V (P \to Q) = 0] = [V (P) = 1 \land V (Q) = 0]

$[V(P\to Q)=0]=[V(P)=1\land V(Q)=0]$ , was beides beweist

V (P \to Q) = 0

$V(P\to Q)=0$ führt zur gewünschten Konjunktion, und die gewünschte Konjunktion führt zu

V (P \to Q) = 0

$V(P\to Q)=0$ scheint überflüssig. Wenn es mehrere Optionen gäbe, dann sicher. Unabhängig davon, wenn es nicht funktioniert, dann funktioniert es nicht. Vielen Dank für Ihre Zeit :)

JosephDoggie

Manchmal kann es hilfreich sein, eine Zwischenvariable zu verwenden. Nicht sicher, ob es auf diese Situation zutrifft.

unendlichnull

„Ich habe versucht, dies einzuschränken, indem ich annahm, dass mein Leser verstehen wird, welche Definitionen im Spiel sind , meine Beweise modularisiert und die Erklärung von Schritten übersprungen habe, von denen ich hoffe, dass sie offensichtlich sind. “ Bitte tun Sie dies nicht. Als Doktorand verachte ich das absolut. Wenn Sie neu auf einem Gebiet sind, wissen Sie nicht, welche Definitionen im Spiel sind, und es dauert ewig, sie zu finden. Schreiben Sie auch auf, was los ist, es sei denn, es ist sehr offensichtlich. Es erspart dem Leser, 10 Minuten über einen Schritt nachzudenken, der sich als offensichtlich herausstellen könnte. Eine gute Arbeit ist leicht zugänglich, keineswegs kryptisch.

Antworten (1)

Wie mache ich Beweise mit langen Formeln besser lesbar, ohne die Übersichtlichkeit zu beeinträchtigen?

Warum müssten Sie nicht beide Richtungen einer bikonditionalen Aussage beweisen? Warum wollen/erwarten Sie, dass der Beweis kurz ist?
@Elliot G, für die Gleichheit "x=y und y=x" beweisen Sie also "x=y" und wir bekommen "y=x" kostenlos, was beide Richtungen beweist - zumindest würden wir, wenn dies ein PL-Beweis wäre und ich könnte Seien Sie sicher, dass ich "=" als eine Beziehung behandeln könnte. Außerdem ist die Länge des Beweises nicht das Problem, es ist die Notation, die das Lesen erschwert, das ist das Problem :(
Ob etwas „offensichtlich genug“ ist, um keinen Beweis zu erfordern, hängt von der Zielgruppe/Leserschaft ab. Dies ist eine Entscheidung, die Sie treffen müssen. Zu viele Ergebnisse als offensichtlich zu bezeichnen, kann schwächere Leser Ihres Textes wirklich abschrecken, also achten Sie darauf, wie Ihr Ton beim Leser ankommt. Wenn Sie außerdem mit vielen logischen Formeln arbeiten – haben Sie darüber nachgedacht, ein Abzugssystem einzuführen?
Der Teil, der mich verwirrt, ist "In (L1) beweise ich beide Richtungen der Bibedingung, was ich meiner Meinung nach nicht tun muss, weil wir es mit " $=$ ". Ich kann keine sehen $=$ überall.
@ user2628206, das ist ein guter Punkt "offensichtlich genug". Was den zweiten Teil betrifft, so sind die Beweise, die ich derzeit mache, hauptsächlich metalogisch und semantisch, also müsste ich das Deduktionssystem beweisen, und da es neuartig wäre, gehe ich das Risiko ein, die Dinge mehr zu machen verwirrend. Ich habe allerdings darüber nachgedacht, Wahrheitstabellen zu erweitern 🤔
@alter Mathematiker, das "=" kommt von der Bewertungsfunktion. $V(P\to Q)=1$ iff $V(P)=0$ oder $V(Q)=1$ . Ich habe dies im Basisfall mit "per Definition" angegeben. Offensichtlich ist meine Annahme über das Offensichtliche nicht richtig 😞
OK, ich verstehe. Aber die beiden Dinge, die Sie gleichwertig zeigen müssen, sind unterschiedlich, also die Symmetrie $=$ ist irrelevant.
Ich wäre auch verwirrt über Ihre Verwendung von $:=$ . Es scheint mir, dass Sie verwenden möchten $Q$ als Abkürzung für die lange verschachtelte Implikation. Ich dachte, das wäre erledigt $Q:=\dots$ und nicht $\dots:=Q$ . Und das denke ich $Q$ sollte sein $Q_n$ .
Vielen Dank, dass Sie Ihr langes, detailliertes Beispiel in Ihre Frage aufgenommen haben. Ohne das hätte ich keine detaillierte und spezifische Antwort schreiben können.
@alter Mathematiker, es hätte "Q:=..." sein sollen, das war ein Hirnfurz 😆. Ich nehme an, ich denke, weil es nur einen Weg gibt, wie eine Bedingung falsch sein kann, $[V(P\to Q)=0]=[V(P)=1\land V(Q)=0]$ , was beides beweist $V(P\to Q)=0$ führt zur gewünschten Konjunktion, und die gewünschte Konjunktion führt zu $V(P\to Q)=0$ scheint überflüssig. Wenn es mehrere Optionen gäbe, dann sicher. Unabhängig davon, wenn es nicht funktioniert, dann funktioniert es nicht. Vielen Dank für Ihre Zeit :)
Manchmal kann es hilfreich sein, eine Zwischenvariable zu verwenden. Nicht sicher, ob es auf diese Situation zutrifft.
„Ich habe versucht, dies einzuschränken, indem ich annahm, dass mein Leser verstehen wird, welche Definitionen im Spiel sind , meine Beweise modularisiert und die Erklärung von Schritten übersprungen habe, von denen ich hoffe, dass sie offensichtlich sind. “ Bitte tun Sie dies nicht. Als Doktorand verachte ich das absolut. Wenn Sie neu auf einem Gebiet sind, wissen Sie nicht, welche Definitionen im Spiel sind, und es dauert ewig, sie zu finden. Schreiben Sie auch auf, was los ist, es sei denn, es ist sehr offensichtlich. Es erspart dem Leser, 10 Minuten über einen Schritt nachzudenken, der sich als offensichtlich herausstellen könnte. Eine gute Arbeit ist leicht zugänglich, keineswegs kryptisch.

MJD · Answer 1

Hauptvorschlag

Anstatt

Wir wollen zeigen $\def\p{\phi}\def\q{\psi}\def\s{\vDash_{\tiny\text{PL}}}\def\ns{\nvDash_{\tiny\text{PL}}}\p_1,\,\p_2,\,\ldots,\,\p_n\s\q$ iff $\s\p_n\to(\p_{n-1}\to(\cdots\to(\p_1\to\q)\cdots))$

versuche es mal so:

Das wollen wir zeigen
$\begin{matrix} (1) & ϕ_{1}, ϕ_{2}, \dots, ϕ_{N} ⊨_{PL} ψ \end{matrix}$ $\def\p{\phi}\def\q{\psi}\def\s{\vDash_{\tiny\text{PL}}}\def\ns{\nvDash_{\tiny\text{PL}}}\p_1,\,\p_2,\,\ldots,\,\p_n\s\q \tag{1}$ dann und nur dann, wenn $\begin{matrix} (2) & ⊨_{PL} ϕ_{N} \to (ϕ_{N - 1} \to (\dots \to (ϕ_{1} \to ψ) \dots)) . \end{matrix}$ $\s\p_n\to(\p_{n-1}\to(\cdots\to(\p_1\to\q)\cdots)).\tag{2}$

Danach, anstatt die langen Formeln jedes Mal zu wiederholen, rufen Sie sie einfach auf $(1)$ Und $(2)$ :

Nehmen wir für reductio an, dass dies nicht der Fall ist $(2)\implies (1)$ . Dann muss es eine geben $\mathscr I$ so dass $(2)$ hält aber $(1)$ nicht.

Kleinere Vorschläge

Abkürzen
$ϕ_{N} \to (ϕ_{N - 1} \to (\dots \to (ϕ_{1} \to ψ) \dots))$ $\phi_n\to(\phi_{n-1}\to(\cdots\to(\phi_1\to\q)\cdots))$ als $Φ_{N} .$ $\Phi_n.$ (Nicht verwenden $Q$ . Warum würden Sie verwenden?)

Anstatt
$v_{ICH} (P_{k} \to (ϕ_{k - 1} \to (\dots \to (ϕ_{1} \to ψ) \dots))) = 0$ $V_\mathscr{I}({p_k\to(\p_{k-1}\to(\cdots\to(\p_1\to\q)\cdots))})=0$ du kannst jetzt schreiben $v_{ICH} (P_{k} \to Φ_{k - 1}) = 0$ $V_\mathscr{I}({p_k\to\Phi_{k-1}})=0$ und der Leser wird nicht übersehen, dass die erste Variable a ist $p$ und nicht ein $\phi$ .

Sie sagten, dass das Kürzen „mehr verwirrend als hilfreich“ erscheint. Es ist nicht.
Abkürzen $\phi_1,\phi_2,\ldots,\phi_n$ als $\vec\phi$ .
Abkürzen
$v_{ICH} (ϕ_{N}) = v_{ICH} (ϕ_{N - 1}) = \dots = v_{ICH} (ϕ_{1}) = 1$ $V_\mathscr{I}(\phi_n)=V_\mathscr{I}(\phi_{n-1})=\cdots=V_\mathscr{I}(\phi_1)=1$ als $v_{ICH} (ϕ_{ich}) = 1 (ich = 1 \dots N)$ $V_\mathscr{I}(\phi_i) = 1\quad (i=1\ldots n)$ oder vielleicht $v_{ICH} (ϕ_{1 \dots N}) = 1.$ $V_\mathscr{I}(\phi_{1\ldots n}) = 1.$
Du kürzt die falschen Sachen ab. Sie müssen „if and only if“ nicht mit „iff“ oder „Lemma 1“ mit „L1“ abkürzen. Das Ziel hier ist nicht, das gesamte normale Englisch aus Ihrem Beweis zu entfernen. Diese Abkürzungen sind eher verwirrend als hilfreich.

Lassen Sie den Leser nicht zwei lange Formeln vergleichen, um sicherzustellen, dass sie gleich sind, oder um sich zu fragen, warum sie es nicht sind. Gestalten Sie Ihre Notation so, dass die Unterschiede zwischen ähnlichen Formeln hervorgehoben werden.

Die Notation ist wie die Sprache flexibel. Es gibt keine Regeln; du darfst Sachen erfinden. $\vec\phi$ ist nicht wirklich ein Vektor. Es spielt keine Rolle. Sie können es kurz erklären: „Wir werden abkürzen $\phi_1,\phi_2,\ldots,\phi_n$ als $\vec\phi$ .“ Niemand wird verwirrt sein oder vergessen, was es bedeutet. Mein Vorschlag $V_\mathscr{I}(\phi_{1\ldots n})$ ist nicht genormt. Es spielt keine Rolle; die Bedeutung ist klar.

Orthogonale Vorschläge

Sie verwenden TeX nicht richtig. Sie müssen \defs nicht ständig wiederholen. Sobald Sie \defeine neue Steuersequenz eingeben, bleibt die Definition bis zum Ende der Gruppe oder des Dokuments in Kraft. Definieren Sie die wichtigen Makros einmal am Anfang der Datei oder in einer \included-Datei.

Definiere bessere Makros. Der Aufbau der Makros sollte dem syntaktischen Aufbau Ihrer Formeln folgen. Anstatt abzutippen

\def\aa{\p_1,\,\p_2,\,\ldots,\,\p_n\s\q}
\def\ab{\p_1,\,\p_2,\,\ldots,\,\p_n\ns\q}
\def\ba{\s\p_n\to(\p_{n-1}\to(\cdots\to(\p_1\to\q)\cdots))}  
\def\bb{\ns\p_n\to(\p_{n-1}\to(\cdots\to(\p_1\to\q)\cdots))

versuche es mal so:

\def\ps{\p_1,\,\p_2,\,\ldots,\,\p_n}
\def\aa{\ps\s\psi}
\def\ab{\ps\ns\psi}
\def\pformn{\p_n\to(\p_{n-1}\to(\cdots\to(\p_1\to\psi)\cdots))}
% now you don't need \ba or \bb, just use \s\pformn and \ns\pformn

Dies ist eine brillante Antwort. Vielen Dank, dass Sie sich die Zeit genommen haben, um zu helfen. Ich werde mich an einer Umschreibung versuchen. Peinlicherweise fügte ich "\ def" hinzu, während ich ging, aber dann habe ich massiv bearbeitet, was die Formatierung beim Posten der Frage zerstörte, also habe ich schnell kopiert und eingefügt. Ich bin auf Android, also verwende ich Stackexchange als Ide, was nicht das Beste ist
Ich sympathisiere. Mein eigenes TeX in der Antwort war nicht das, was ich geschrieben hätte, wenn ich einen Artikel mit einem echten Redakteur vorbereitet hätte. Und nochmals vielen Dank, dass Sie sich die Zeit und Mühe genommen haben, eine gute Frage zu stellen, ohne die ich keine gute Antwort hätte schreiben können.
Ich würde dringend empfehlen, bei der Nummerierung von Formeln oder Gleichungen sehr konservativ oder vorsichtig zu sein oder zumindest den Anwendungsbereich stark einzuschränken. Wenn Sie auf viele nummerierte Formeln verweisen, wird es im besten Fall eine Weile dauern, bis dies entschlüsselt ist. Wenn Sie Dinge abkürzen, würde ich auch vorschlagen, dass Sie versuchen, der typischen Notation so genau wie möglich zu folgen. Wenn Sie etwas auf eine Weise abkürzen, die angesichts der typischen Notation nicht intuitiv ist, kann dies den Leser sehr verwirren, und die Standardnotation reduziert den Aufwand, der erforderlich ist, um das Geschriebene zu verstehen.
" „Wir werden ϕ1,ϕ2,…,ϕn als ϕ⃗ abkürzen.“ Niemand wird verwirrt sein oder vergessen, was es bedeutet.“ Ich habe einen Fall davon gesehen. Ich erinnere mich besonders daran, dass Lotfi Zadeh gelesen hat (und einige Leute, die ihn gelesen haben), Leibniz 'langes 's'-Symbol verwendet haben, das den Leuten aus Kalkültexten bekannt ist, ABER Zadeh hat kein Integral notiert, sondern eine Vereinigung (von Fuzzy-Mengen) . Obwohl ein Autor kommentierte, dass es sich um eine schlechte Notation handelte, schien niemand von Zadehs Notation verwirrt zu sein, seit er sie erklärt hatte.
Ich habe das nicht erfunden $\vec\phi$ Ding aus ganzem Tuch; Ich habe gesehen, dass es anderswo ähnlich verwendet wurde, zum Beispiel in Barendregts Introduction to $\lambda$ -Kalkül . Deshalb konnte ich so zuversichtlich sein, zu erklären: „Niemand wird verwirrt sein.“ Trotz meiner Behauptung, „das darf man sich ausdenken“, ist der einzige meiner Vorschläge, der erfunden ist $V(\phi_{1\ldots n})=1$ . Ich denke, das ist ein gutes Beispiel dafür, wie eine vernünftige Erfindung aussieht. Angehende Mathematiker machen sich oft Sorgen darüber, ob ihre Notation „erlaubt“ ist, wenn die eigentliche Sorge lautet: „Kann sie verstanden werden?“

Wie mache ich Beweise mit langen Formeln besser lesbar, ohne die Übersichtlichkeit zu beeinträchtigen?

Zehn Uhr vier

Frage

Beispiel Beweis

Lemma 1 (L1)

Nachweis der ersten Richtung (P1)

Nachweis der zweiten Richtung (P2)

pancini

Zehn Uhr vier

Benutzer2628206

alter Mathematiker

Zehn Uhr vier

Zehn Uhr vier

alter Mathematiker

alter Mathematiker

MJD

Zehn Uhr vier

JosephDoggie

unendlichnull

Antworten (1)

MJD

Hauptvorschlag

Kleinere Vorschläge

Orthogonale Vorschläge

Zehn Uhr vier

MJD

Bernhard Bärker

Doug Spoonwood

MJD

Beweisen Sie die Richtigkeit der Aussagenlogik ohne Induktion?

Wie kann man wissen, ob A⟹BA⟹BA \impliziert, dass B (eine Implikation) wahr ist, ohne zu wissen, ob BBB (die Konsequenz) wahr ist?

Unterschied zwischen ⟹⟹\impliziert und ∴∴\;\daher\;\;?

Unterschied zwischen ⟹⟹\color{red}{\implies}, ⟸⟸\color{red}{\Longleftarrow} und ⟺⟺\color{red}{\Longleftrightarrow} und wann sie beide verwenden?

Wenn P, dann ist Q wahr und P auch. Dann ist Q nicht unbedingt wahr, richtig?

Logiksymbole "fließend" in der Mathematik verwenden. Wie kann ich zeigen, dass ein Satz von Bedingungen, dargestellt durch logische Symbole, unabhängig von einem anderen ist?

Beweise mit Tautologien

Indem Propositionsvariablen durch ihre Negation ersetzt und die Wahrheitswerte aller Props umgedreht werden. Variablen, zeige v(ϕ)=v∗(ϕ∗)v(ϕ)=v∗(ϕ∗)v(\phi)=v^(\phi^)

Implikationspfeile, Drehkreuze etc

Lässt sich jeder Widerspruchsbeweis auch widerspruchsfrei zeigen?