Logiksymbole "fließend" in der Mathematik verwenden. Wie kann ich zeigen, dass ein Satz von Bedingungen, dargestellt durch logische Symbole, unabhängig von einem anderen ist?

Ich versuche, meine Fähigkeiten im Korrekturschreiben zu verbessern. Dabei beinhalten viele der mathematischen Aussagen, denen ich begegne, viele "Sätze" von "unabhängigen" Bedingungen, die herkömmlicherweise durch logische Symbole dargestellt werden.

Ich möchte die Leser fair warnen: Ich bin ein Neuling in der Logik und im mathematischen Korrekturschreiben, und daher mag einiges von dem, was folgt, wie Kauderwelsch erscheinen. Dies liegt wahrscheinlich an meiner angegebenen Unerfahrenheit. Ich möchte den Lesern jedoch versichern, dass es nicht meine Absicht ist, ihre Zeit zu verschwenden. Mein Ziel ist es zu lernen, präzise und elegante mathematische Aussagen unter Verwendung der konventionellen Symbolik zu bilden.

Nehmen Sie zum Beispiel die mathematische Aussage „Zeigen Sie, dass die reelle Zahl nur durch 1 und sich selbst teilbar ist“. Wenn ich dies mathematisch schreibe, möchte ich das mathematische Englisch genau in mathematische / logische Symbole / Notationen umwandeln. Ich möchte jedoch, dass die rein mathematische Darstellung der Aussage "fließend" ist. Diese „Flüssigkeit“ hängt von der „Unabhängigkeit“ von Abschnitten der mathematischen Aussagen ab – im Englischen dargestellt durch Punkte (.) oder Kommas (,).

Zeige, dass N k = C

Diese Aussage ist offensichtlich unvollständig; Es erfordert weitere Informationen, die normalerweise in mathematisch / logischer Notation hinzugefügt werden:

(1) ∀   N ∈ Z > 1

(2) k = 1 ∨ k = N

Beachten Sie, dass diese mathematische Aussage zwei "unabhängige" Bedingungen erfordert, damit sie Sinn ergibt? Wenn ich unabhängig sage, meine ich, dass eine Bedingung unabhängig von der anderen ist.

Und andere mathematische Aussagen könnten mehr als haben 2 unabhängige Bedingungen.

Wenn wir diese einfach zusammenfügen würden, würden wir etwas erhalten, das keine flüssige, präzise oder korrekte Darstellung des mathematischen Englisch ist:

N k = C   ∀   N ∈ Z > 1   k = 1 ∨ k = N

Beachten Sie auch, wie sich die logischen Symbole "überschneiden", da es kein Äquivalent zu einem Punkt (.) oder Komma (,) gibt. Mit anderen Worten, es gibt keine Möglichkeit zu unterscheiden, welche Abschnitte der mathematischen Aussage unabhängig oder abhängig sind.

Wie schließe ich mich der mathematischen Aussage an? N k = C mit den Bedingungen ∀   N ∈ Z > 1 Und k = 1 ∨ k = N ? Mit anderen Worten, wie wandle ich das mathematische Englisch in eine flüssige und korrekte Darstellung mit mathematisch/logischer Notation um?

Das ist etwas, das mich schon eine ganze Weile beunruhigt, und ich bin gespannt darauf, den richtigen Weg zu lernen, diese zu schreiben. Ich hoffe, meine Frage konnte dies effektiv vermitteln.

Danke schön.

Quantifizierer müssen (normalerweise) führen und die "Bedingungen" (normalerweise) sind Vorläufer von Konditionalen: ∀ N ∈ Z   ∀ k   [ ( N > 1 ∧ k | N ) → ( k = 1 ∨ k = N ) ] .
Sie können sehen: Peter Smith, An Introduction to Formal Logic (2003) und Benson Mates, Elementary Logic (1972).
Sowie: Ethan Bloch, Proofs and Fundamentals: A First Course in Abstract Mathematics (2. Auflage – 2011).
@MauroALLEGRANZA Vielen Dank für Ihre freundlichen Empfehlungen. Ich studiere gerade Daniel Solows How to Read and Do Proofs . Daher denke ich, dass es am besten ist, Überschneidungen zu vermeiden, indem man etwas studiert, das der Logik näher ist als das mathematische Korrekturschreiben. Welchen konkreten Text würden Sie zu diesem Zweck vorschlagen?
Sie können die Inhaltsverzeichnisse mit Google durchsuchen ... Aber Bloch ist mehr Mathematik als Mathe-Logbuch.
„Außer wenn Sie Logik besprechen, vermeiden Sie es, die folgenden Symbole in Ihre Aufgabe zu schreiben: …“ Sie fahren dann damit fort, alle Quantifizierer (universelle, existenzielle usw.) und das Implikationssymbol aufzulisten, und beenden die Verwendung von „etc.“ alle logische Notation implizieren (S. 6). Sie tun dies, um Verfassern von Beweisen zu helfen, Verwirrung und unnötige Symbole zu vermeiden. Ich stimme ihnen zu, so verlockend es auch sein mag, zu versuchen, sich mit logischer Notation kurz zu fassen. Ich kann dieses Buch sehr empfehlen. Quelle: „Mathematical Proofs; A Transition to Advanced Mathematics“ von Gary Chartrand, Albert D. Polimeni und Ping Zhang.
Hallo @floorcat, danke, dass du dir die Zeit genommen hast zu antworten. Wenn ich bereits ein Lehrbuch über mathematisches Korrekturschreiben lese, wäre es produktiver, ein Buch zu lesen, das sich auf Logik konzentriert, oder das von Ihnen empfohlene? Es kann zu erheblichen Überschneidungen zwischen verschiedenen Lehrbüchern zum Schreiben mathematischer Korrekturen kommen. Können Sie bitte auch erläutern, was Sie zu logischen Symbolen gesagt haben? Ich verstehe nicht ganz, was es sagt (wahrscheinlich aufgrund von Unerfahrenheit). Danke schön.
Das hängt von mehr als ein paar Dingen ab. Logik ist ein eigenes Feld. Natürlich überschneidet es sich mit Mathematik (mathematische Logik), aber die reine Logik selbst ist sehr unterschiedlich. Eine wohlgeformte Formel in der Logik (Theorem) ist eine einzelne Reihe von Variablen (und Prädikaten in höherer Ordnung), die Sie entweder durch Kontrapositiv oder mit Wahrheitstabellen beweisen. In der Mathematik ist ein Theorem nicht nur eine einzelne Reihe von Variablen und Operatoren, es erfordert Text, um Aspekte davon zu erklären. (1/2)
Wenn Sie sich für formale Logik interessieren, dann würde ich empfehlen, Beweise in Logik zu studieren. Es wird Überschneidungen geben (viele Beweiskonzepte sind weit verbreitet), aber wie und wann eine Methode verwendet wird, wird wahrscheinlich erheblich stärker variieren. Logiksymbole sind alle Symbole, die in der Logik verwendet werden. ∀ oder ∧ ∨ . Logik kann in Bezug auf Konventionen sehr verwirrend sein. In meinem Training wurden also nur Pfeile verwendet ∧ Ist ↑ für ein Beispiel. Das Vermeiden aller logischen Notationen in mathematischen Beweisen hilft, Ihr Schreiben klar und verständlich zu halten, imho. (2/2)
@floorcat Ich verstehe. Mathematikern wird also empfohlen, mathematisches Englisch zu verwenden? Obwohl Sie in der Mathematik (Mengenlehre) oft eine starke Verwendung von logischen Symbolen sehen. Ich kann mir nicht vorstellen, wie produktiv oder präzise es wäre, mathematisches Englisch zu verwenden?
@ThePointer Es besteht definitiv Bedarf an Ausgewogenheit. Die Mengenlehre hat ihre eigene Notation (vergleiche zum Beispiel Quine mit Gödel), die logische Symbole verwendet. Allerdings ist es sinnvoller, mathematische Dinge in mathematischen Symbolen zu formulieren, nicht in Englisch [wie Sie "darauf hingewiesen" haben ;)] . Wenn ich andererseits den Ausdruck „für alle x, so dass“ sagen kann, brauche ich den universellen Quantor nicht wirklich zu verwenden. Es ist sehr einfach auf Englisch zu sagen und sehr leicht zu verstehen. Hilft das?
@floorcat In der Tat. Vielen Dank für Ihre freundlichen Kommentare.
Freut mich. :)

Antworten (2)

Abgesehen von formalen Beweisen beim Studium der Logik wird empfohlen, in guten mathematischen Texten anstelle von Symbolen ganze Sätze zu verwenden. Das heißt, anstatt zu sagen:

Wir haben

∀ N , k ∈ Z   ( N > 1 ∧ ( k = 1 ∨ k = N ) → ∃ C ∈ Z   ( N k = C ) )

Du würdest sagen:

Betrachten Sie eine beliebige N , Wo N ∈ Z Und N > 1 , und lass k = 1 oder k = N . Zeige, dass:

N k = C

Sofern Sie nicht in Logik erster Ordnung schreiben müssen (für Beweisprüfer oder Ableitungen im Fitch-Stil), ist die letztere Methode um Größenordnungen besser lesbar. Gutes Schreiben erfordert ein Gleichgewicht zwischen Verständlichkeit und Kürze/Eindeutigkeit. Wenn Sie lernen wollen, im üblichen Sinne gute Beweise zu schreiben, machen Sie Ihr Schreiben für den Leser einfacher!

Hier sind eine Reihe von Ressourcen, die dies bohren werden. Jeder einzelne davon sagt in gewisser Weise aus, was meine Antwort hier besagt: Vermeiden Sie diese Art von Kurzschrift.

Quelle 1

Quelle 2

Quelle 3

Quelle 4

Eigentlich würde ich nur sagen: "Bei einer beliebigen Ganzzahl N > 1 , Wenn k = 1 oder k = N Dann N k ist eine ganze Zahl."
@ user21820 So wie ich. Aber manchmal das Set N gehört zu kann besser in Notation geschrieben werden. Ich habe versucht, so viel formale Notation wie möglich in den meisten Szenarien beizubehalten.
@ user21820 Außerdem habe ich deine Formel für die erste Bestellung entführt, also danke!
Ah. Wenn ich die Mengennotation verwende, um die Zugehörigkeit darin hervorzuheben, würde ich das Ganze zusammenfassen als Z > 1 . Aber sicherlich sind wir uns einig, dass wir nicht schreiben können " ∀   N ∈ Z > 1 ". =)

Der richtige Weg, Ihre Aussage symbolisch zu schreiben (nach meiner Vermutung, was Sie meinen), ist:

∀ N , k ∈ Z   ( N > 1 ∧ ( k = 1 ∨ k = N ) → ∃ C ∈ Z   ( N k = C ) )

Übrigens ist es immer möglich, jede mathematische Aussage in symbolischer Form auszudrücken. Tatsächlich ist es für fast die gesamte moderne Mathematik keine mathematische Aussage, wenn dies nicht in einem festen Format (z. B. Satz erster Ordnung über ZFC) möglich ist! Wie andere jedoch betont haben, verwenden wir beim mathematischen Schreiben Symbole, um das Verständnis zu erleichtern, und nicht nur aus Gründen der Prägnanz oder Genauigkeit. Auch wenn das Ziel darin besteht, dass es vom Computer überprüft werden kann, ist es sehr ungewöhnlich, dass Symbole im Gegensatz zu ASCII-Schlüsselwörtern verwendet werden, da es schwierig ist, Symbole einzugeben. Beispielsweise verwendet Coq das Schlüsselwort „forall“ und nicht das Symbol „ ∀ ".

Meiner Meinung nach wäre eine klare Möglichkeit, Ihre Aussage schriftlich auszudrücken:

Gegeben eine beliebige ganze Zahl N > 1 , Wenn k = 1 oder k = N Dann N k ist eine ganze Zahl.

Es ist kaum länger als die symbolische Form und vermittelt dennoch alle Informationen in einem gut lesbaren englischen Satz. Wenn Sie eine kürzere Version wünschen, können Sie mehr Symbole verwenden (was mehr vorherige Definitionen erfordern würde):

Gegebenenfalls N ∈ Z > 1 , Wenn k ∈ { 1 , N } Dann N k ∈ Z .

Es ist eindeutig ein Kompromiss zwischen Lesbarkeit und Prägnanz. Beachten Sie, dass ein wesentlicher Faktor die Verwendung der mengentheoretischen Notation ist, die üblicherweise in der modernen mathematischen Schrift verwendet wird. Außerdem ist es eine selbstverständliche Konvention, universelle Quantoren auf der äußersten Ebene wegzulassen, wie z. B. für " k " Hier.

In freier Verwendung der mengentheoretischen Notation mit Logik erster Ordnung können wir eine kurze, aber eindeutig äquivalente Version Ihrer Aussage schreiben:

∀ N , k ∈ Z   ( N > 1 ∧ k ∈ { 1 , N } → N k ∈ Z ) .

Logiksymbole "fließend" in der Mathematik verwenden. Wie kann ich zeigen, dass ein Satz von Bedingungen, dargestellt durch logische Symbole, unabhängig von einem anderen ist?
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