Unterschied zwischen ⟹⟹\impliziert und ∴∴\;\daher\;\;?

"Wie es scheint$\therefore$wird häufiger verwendet, um zum Abschluss eines Arguments zu gelangen, während$\implies$(Alternative$\rightarrow$) ist für Zwischenansprüche, die sich gegenseitig implizieren.“

Ihre Vermutung ist weitgehend richtig; Meine einzige Sorge ist Ihre Beschreibung von$\implies$wird verwendet, um Zwischenansprüche (z. B. in einem Beweis oder einer Argumentation) zu bezeichnen, die sich gegenseitig implizieren. Der$\implies$Bezeichnung, wie in$p \implies q$, vermittelt lediglich, dass der vorstehende Anspruch ($p$, falls wahr) impliziert die nachfolgende Behauptung$q$; dh es bezeichnet keine bidirektionale Implikation$\iff$was lautet "wenn und nur wenn".

'$\implies$' oder '$\rightarrow$' wird oft in einem "modus ponens"-Stil (kurz im Umfang) als Argument verwendet: Wenn$p\implies q$, und wenn dem so ist$p$, dann folgt das$q$.

Typischerweise, wie Sie bemerken,$\therefore$hilft, die Schlussfolgerung eines Arguments zu bezeichnen: Angesichts dessen, was wir als wahr wissen (oder als gegeben annehmen), und angesichts der folgenden Zwischenimplikationen schließen wir, dass ...

Also, kurz gesagt,$\implies$(„was impliziert, dass“) ist in der Regel kürzer und soll normalerweise implizit die vorangehende Aussage und das, was daraus folgt, verknüpfen, während „$\therefore$“ hat typischerweise, wenn auch nicht immer, sozusagen eine größere Tragweite, indem es die anfänglichen Annahmen/Gegebenheiten, die Zwischenimplikationen, mit „dem, was gezeigt werden sollte“, in beispielsweise einem Beweis oder Argument verknüpft.

Hinzugefügt:

Zur Bedeutung/Verwendung des Symbols habe ich folgenden Wikipedia-Eintrag gefunden$\therefore$“ , aus der ich zitiere:

Um logische Implikationen oder Folgerungen zu bezeichnen, werden in der mathematischen Logik verschiedene Zeichen verwendet:$\rightarrow, \;\implies, \;\supset$und ⊢, ⊨. Diese Symbole sind dann Teil einer mathematischen Formel und gelten nicht als Satzzeichen. Im Gegensatz dazu das Daher-Zeichen$[\;\therefore\;]$wird traditionell als Satzzeichen verwendet und ist nicht Teil einer Formel.

Es bezieht sich auch auf das „Ergänzen“ des „daher“-Symbols$\;\therefore\;$, nämlich das Symbol$\;\because\;$, was „weil“ bedeutet.

Beispiel:

$\because$Alle Menschen sind sterblich.
$\because$Sokrates ist ein Mann.
$\therefore$Sokrates ist sterblich.

$\therefore$Und$\implies$sind ganz anders!

"Daher" und "daher" und "als Konsequenz" sind alle Synonyme. Die Verwendung ist "A, also B", was bedeutet "A ist wahr, und daraus folgt, dass B wahr ist." Beachten Sie, dass die Wahrheit von A behauptet wird. Latex \deshalb ($\therefore$) gibt das gepunktete Dreieck an, das seit langem für "deshalb" verwendet wird.

"Weil" ist umgekehrt dasselbe. „B weil A“ bedeutet, dass B wahr ist, weil A wahr ist. Diese enthält die Behauptung, dass A wahr ist. Latex \weil ($\because$) ergibt das umgekehrte Punktdreieck, das seit langem als "weil" bezeichnet wird.

"Impliziert" ist ganz anders. „A impliziert B“ bedeutet, dass WENN A wahr ist, dann auch B wahr ist. Es macht keine Aussage über die Wahrheit von A. Latex \impliziert ($\implies$), \Rechter Pfeil ($\Rightarrow$) und \Longrightarrow ($\Longrightarrow$) geben alle den doppelten Pfeil nach rechts, der oft verwendet wird, um "impliziert" zu bedeuten. Manchmal wird ein einzelner Pfeil nach rechts verwendet, der dieselbe Bedeutung hat.

Es ist sehr üblich, das \implies-Symbol anstelle von „deshalb“ zu verwenden, aber da „impliziert“ und „deshalb“ deutlich unterschiedliche Bedeutungen haben, ist dies eine sehr schlechte Schreibweise.

Es gibt vier logische Symbole, um sich darüber klar zu werden:

1. '$\to$' (oder '$\supset$') ist ein Symbol verschiedener formaler Sprachen (z. B. der Sprache der Aussagenlogik oder der Sprache des Prädikatenkalküls erster Ordnung), um [meistens!] den wahrheitsfunktionalen Konditional auszudrücken.$A \to B$ist ein einziger Bedingungssatz, der natürlich keines von beiden behauptet$A$noch$B$.
2. '$\vdash$' ist ein Ausdruck, der dem Logiker-Englisch (oder Spanisch oder was auch immer) hinzugefügt wurde – er gehört zu der Metasprache, in der wir über Folgebeziehungen zwischen formalen Sätzen sprechen. Und zB$A, A \to B \vdash B$sagt in erweitertem Englisch, dass es in einigen relevanten deduktiven Systemen einen Beweis aus den Prämissen gibt$A$Und$A \to B$zum Schluss$B$. (Wenn wir wirklich penibel sind, würden wir schreiben '$A$', '$A \to B$'$\vdash$'$B$' aber das versteht man immer$\vdash$kommt mit unsichtbaren Anführungszeichen.)
3. '$\vDash$' ist ein weiterer Ausdruck, der dem Logiker-Englisch (oder Spanisch oder was auch immer) hinzugefügt wurde -- es gehört wieder zur Metasprache, in der wir über Folgebeziehungen zwischen formalen Sätzen sprechen. Und zB$A, A \to B \vDash B$sagt, dass es in der relevanten Semantik keine Bewertung gibt, die die Prämissen macht$A$Und$A \to B$wahr und die Schlussfolgerung$B$FALSCH.
4. $\therefore$wird als Satzzeichen zu einigen formalen Sprachen als Inferenzmarker hinzugefügt. Dann$A, A \to B \therefore B$ist ein Objektsprachenausdruck ; und (anders als die metalinguistische$A, A \to B \vdash B$), besteht diese aus drei getrennten Behauptungen$A$,$A \to B$Und$B$, mit einem Marker, der angemessen verwendet wird, wenn der dritte eine Folge der ersten beiden ist. (Aber NB: Ein Inferenzmarker sollte nicht als Behauptung angesehen werden , dass eine Inferenz gemacht wird.)

Wie für '$\Rightarrow$“, scheint dies – wie die Verwendung von „impliziert“ – informell (insbesondere von Nicht-Logikern) in verschiedenen Kontexten für jeden der ersten drei verwendet zu werden. Ich fürchte, Sie müssen nur darauf achten, den Kontext eindeutig zu machen. (Und NB in ​​der zweiten und dritten Verwendung, wo '$\Rightarrow$' wird besser als 'impliziert' gelesen, dass es keinen Umfangsunterschied zu '$\therefore$'. In beiden Fällen können wir viele wffs vor dem Implikations-/Inferenzmarker haben.)

Vergleichen Sie diese:

• Ich bestreite, dass ich vorhatte, diese Bank auszurauben. Wenn ich geplant hätte, diese Bank auszurauben, würde ich eine Skimaske tragen.

• Ich hatte vor, diese Bank auszurauben. Deshalb trage ich eine Skimaske.

Linie$(1),$Auf der anderen Seite gibt keiner dieser Sätze an$A$Und$B$tatsächlich wahr sind und diesen Satz auch nicht behaupten$C$ist wahr. Es hat tatsächlich drei mögliche Bedeutungen, von denen kein Paar gleichwertig ist (überzeugen Sie sich selbst anhand der Wahrheitszuweisungen$(0,0,0)$Und$(1,0,0)$):

Wenn der Unterschied zwischen den Zeilen$(2)$Und$(1\text c)$trivial erscheint und nur eine Frage des kontextuellen Rückschlusses auf die stärkere Bedeutung ist , dann stellen Sie diese wahre Aussage gegenüber

Alles in allem halte ich es für schlechte Praxis zu behandeln$\implies$Und$\,\therefore\,$als austauschbar.

Hier sind mehrere Artikel, die ihre Unterscheidung erläutern:

1. Implikation versus Konklusion
2. „impliziert“ versus „daher“
3. Anleitung zum Schreiben von Mathematik (S. 17)
4. Missbrauch des Implikationssymbols