Unterschied zwischen ⟹⟹\color{red}{\implies}, ⟸⟸\color{red}{\Longleftarrow} und ⟺⟺\color{red}{\Longleftrightarrow} und wann sie beide verwenden?

Question

Unterschied zwischen ⟹⟹\color{red}{\implies}, ⟸⟸\color{red}{\Longleftarrow} und ⟺⟺\color{red}{\Longleftrightarrow} und wann sie beide verwenden?

Logik
Notation
Mathematik
Korrekturschreiben

Der Zeiger

Ich begegne oft den logischen Symbolen $\implies$ , $\Longleftarrow$ , Und $\Longleftrightarrow$ im mathematischen Text. Ich persönlich verwende häufig $\implies$ wenn ich Mathematik mache, aber ich bin neugierig, in welchen Situationen jedes richtig verwendet werden sollte.

Obwohl ich häufig benutze $\implies$ , ich habe festgestellt, dass ich es oft falsch mache; zum Beispiel wird mir manchmal gesagt, dass ich keine Implikation hätte verwenden sollen ( $\implies$ )-Symbol, da die Gleichung nicht unbedingt direkt impliziert ist (oder etwas in dieser Richtung). Im Kontext der Mathematik scheint meine Verwendung dieser Symbole schlampig zu sein, was wiederum mangelndes Verständnis signalisiert.

Was ist der Unterschied zwischen $\implies$ , $\Longleftarrow$ , Und $\Longleftrightarrow$ in Mathematik, und wann ist es angemessen/richtig, sie zu verwenden? Bitte sprechen Sie darüber im Rahmen der Mathematik der Grundschule (Gymnasium und frühe Universität), damit es leicht verständlich ist.

Ich würde es sehr schätzen, wenn sich die Leute bitte die Zeit nehmen könnten, diese Konzepte zu erklären.

Taufi

Was ich häufig beobachte, ist, dass die Leute den Unterschied zwischen "

=

$=$ " Und "

\to

$\rightarrow$ ". Sie sollten auch darauf achten, es nicht zu verwenden

\Leftrightarrow

$\Leftrightarrow$ in aufeinanderfolgenden Berechnungen, wenn es im nächsten Schritt einfach falsch ist.

Benutzer400188

Interessant; das allgemein Gebräuchliche

∴

$\therefore$ Symbol ist definiert als

A \land (A \to B)

$A\land (A\rightarrow B)$ . Was die Bedeutung von UND den beiden Ausdrücken hat, zwischen denen es geschrieben wurde. Es wird gelesen als: Nehmen wir den ersten Ausdruck als wahr, wenn der erste, dann haben wir den zweiten. Nicht Teil Ihrer ursprünglichen Frage, aber ich dachte, es wäre eine gute Idee, dies zur Sprache zu bringen.

Ryan

Nach dem Kommentar von @ user400188 impliziert der Unterschied zwischen und wird daher von vielen Missbrauchern der häufig nicht bemerkt

⟹

$\implies$ Symbol.

Benutzer400188

@ryang danke, dass du mich mit deiner Antwort verlinkt hast. Es war eine gute Lektüre.

Antworten (3)

Unterschied zwischen ⟹⟹\color{red}{\implies}, ⟸⟸\color{red}{\Longleftarrow} und ⟺⟺\color{red}{\Longleftrightarrow} und wann sie beide verwenden?

Was ich häufig beobachte, ist, dass die Leute den Unterschied zwischen " $=$ " Und " $\rightarrow$ ". Sie sollten auch darauf achten, es nicht zu verwenden $\Leftrightarrow$ in aufeinanderfolgenden Berechnungen, wenn es im nächsten Schritt einfach falsch ist.
Interessant; das allgemein Gebräuchliche $\therefore$ Symbol ist definiert als $A\land (A\rightarrow B)$ . Was die Bedeutung von UND den beiden Ausdrücken hat, zwischen denen es geschrieben wurde. Es wird gelesen als: Nehmen wir den ersten Ausdruck als wahr, wenn der erste, dann haben wir den zweiten. Nicht Teil Ihrer ursprünglichen Frage, aber ich dachte, es wäre eine gute Idee, dies zur Sprache zu bringen.
Nach dem Kommentar von @ user400188 impliziert der Unterschied zwischen und wird daher von vielen Missbrauchern der häufig nicht bemerkt $\implies$ Symbol.
@ryang danke, dass du mich mit deiner Antwort verlinkt hast. Es war eine gute Lektüre.

celtschk · Answer 1

Die Verwendung von $\implies$ ist angemessen, wenn das Folgende eine Folge dessen ist, was vorausgegangen ist. Zum Beispiel,

X = 5 ⟹ X^{2} = 25

$x=5 \implies x^2=25$ ist eine bestimmungsgemäße Verwendung. Allerdings in den meisten Zusammenhängen

X^{2} = 25 ⟹ X = 5

$x^2=25 \implies x=5$ ist eine ungültige Verwendung, ab

x^{2} = 25

$x^2=25$ darauf würdest du nicht schließen können

x = 5

$x=5$ , da auch

(- 5)^{2} = 25

$(-5)^2=25$ . Beachten Sie jedoch in einem Kontext, in dem Sie dies festgestellt haben

x

$x$ eine natürliche Zahl ist, gilt die obige Verwendung , wie in diesem Fall, tatsächlich aus

x^{2} = 25

$x^2=25$ darauf kannst du schließen

x = 5

$x=5$ (seit

- 5

$-5$ ist keine natürliche Zahl).

$A\impliedby B$ ist genau das gleiche wie $B\implies A$ , also zB

X^{2} = 25 ⟸ X = 5

$x^2=25 \impliedby x=5$ ist eine korrekte Verwendung. Sie können es verwenden, wenn Sie aus irgendeinem Grund zuerst die Implikation sagen möchten. Welche der Formen Sie verwenden, ist eine Frage des Stils, solange Sie darauf achten, dass der Schluss auf der Spitze des Pfeils liegt.

$A\iff B$ bedeutet, dass beides $A\implies B$ Und $B\implies A$ (bzw. $A\impliedby B$ ). Es wird verwendet, wenn eine Seite aus der anderen folgt. Zum Beispiel,

X^{2} = 25 ⟺ X = - 5 \lor X = 5

$x^2=25 \iff x=-5 \lor x=5$

MPW · Answer 2

" $P\Longleftarrow Q$ "ist definiert als" $Q\Longrightarrow P$ ", Und " $P\iff Q$ "ist definiert als" $P\Longrightarrow Q$ Und $Q\Longrightarrow P$ ". Also können alle diese Symbole in Form des Grundsymbols ausgedrückt werden " $\Longrightarrow$ ".

Seine Bedeutung ist eine einfache Behauptung der Implikation. " $P\Longrightarrow Q$ “ ist nur die Aussage, wann immer $P$ ist wahr, $Q$ stimmt auch zwangsläufig. Es wird nicht behauptet, dass eines von beiden wahr ist, nur dass die Wahrheit des einen eine Folge der Wahrheit des anderen ist, wann immer dies eintreten sollte.

Jedes Mal, wenn Sie eine Implikation abkürzen möchten. Beispiel: „X ist ein Quadrat $\Longrightarrow$ X ist ein Rechteck".

Nosrati · Answer 3

Es ist herkömmliche Verwendung $\Longleftrightarrow$ anstelle von iff (eine Abkürzung von if and only if ), sagen Sie nur, dass wir in Anweisung normalerweise iff verwenden und wenn wir mathematische Anweisung schreiben, können wir verwenden $\Longleftrightarrow$ wie

$n$ ist gerade iff $n+1$ ist ungerade.

$k|n\Longleftrightarrow\exists\ell\in\mathbb{Z}:n=k\ell$

Unterschied zwischen ⟹⟹\color{red}{\implies}, ⟸⟸\color{red}{\Longleftarrow} und ⟺⟺\color{red}{\Longleftrightarrow} und wann sie beide verwenden?

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celtschk

MPW

MPW

Nosrati

Unterschied zwischen ⟹⟹\impliziert und ∴∴\;\daher\;\;?

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