Frage zu meinem Beweis von: limh→0f(ch)=limch→0f(ch)limh→0f(ch)=limch→0f(ch) \lim_{h \to 0}f(ch)=\lim_{ch \ zu 0}f(ch) für c≠0c≠0c\neq 0

Dieser Beitrag wird in zwei Abschnitte unterteilt: Der erste Abschnitt enthält den Beweis und der zweite Abschnitt die Frage. Der Beweis wird formal geschrieben, da die Frage anhand der formalen Beschreibung leichter verständlich ist. (Beachten Sie, dass der Kontext dieses Beitrags in Spivak's Calculus steht, der alle Funktionen behandelt, sofern nicht anders angegeben, als hätten sie eine Domäne von$\mathbb R$).

Beweisen:$\displaystyle \lim_{h \to 0}f(ch)=\displaystyle \lim_{ch \to 0}f(ch)$Pro$c\neq 0$, was äquivalent ist zu:

Wenn$c\neq 0$Und$\displaystyle \lim_{h \to 0}f(ch)=L$, dann$\displaystyle \lim_{ch \to 0}f(ch)=L$ $\quad$Und$\quad$Wenn$c\neq 0$Und$\displaystyle \lim_{ch \to 0}f(ch)=L$, dann$\displaystyle \lim_{h \to 0}f(ch)=L$

Wir beweisen nur die erste Implikation (die Umkehrung wird analog vervollständigt):

Nach Annahme:$\displaystyle \lim_{h \to 0}f(ch)=L \iff \forall \varepsilon \gt 0 \ \exists \delta \gt 0 \ \forall h \in \mathbb R \left [ 0 \lt |h| \lt \delta \rightarrow |f(ch)-L| \lt \varepsilon \right ]$

Wir wollen das für einen beliebigen zeigen$\varepsilon$, können wir a konstruieren$\delta$so dass$\color{red}{\forall ch} \in \mathbb R \left [ 0 \lt |ch| \lt \delta \rightarrow |f(ch)-L| \lt \varepsilon \right]$

Für$\varepsilon$, wissen wir durch Annahme, dass es a gibt$\delta_{\varepsilon}$so dass:

$\forall h \in \mathbb R \left [ 0 \lt |h| \lt \delta_{\varepsilon} \rightarrow |f(ch)-L| \lt \varepsilon \right ]$

Betrachten Sie nun a$\delta ^* = \min\left(\delta_{\varepsilon},\frac{\delta_{\varepsilon}}{|c|}\right)$.

Wenn$0 \lt |h| \lt \delta^* \leq \delta_{\varepsilon}$, nach Annahme gilt:$|f(ch)-L| \lt \varepsilon$.

Weiter, wenn$0 \lt |h| \lt \delta^* \leq \frac{\delta_{\varepsilon}}{|c|}$, dann$0 \lt |ch| \lt |c|\delta^*$.

Lassen Sie daher unsere gewünschten$\delta$definiert werden als$\delta = |c|\delta^*$. So lange wie$0\lt|ch| \lt \delta$, alle unsere Kriterien sind erfüllt.

In dem obigen Beweis habe ich von der folgenden Aussage Gebrauch gemacht:

$\color{red}{\forall ch} \in \mathbb R \left [ 0 \lt |ch| \lt \delta \rightarrow |f(ch)-L| \lt \varepsilon \right]$

Durch meine kurze Erfahrung in Mathematik, dem universell quantifizierten Objekt$ch$ist untypisch. Ich vermute, der richtige Weg, dies zu bezeichnen, besteht darin, eine Funktion der Form festzulegen:$g(h)=ch$und dann Definieren eines einzelnen Symbols als Darstellung seiner Ausgabe. dh so etwas wie$s_h :=g(h)$. Genauer gesagt sollten wir schreiben$g$formal als:$g: \mathbb R \to \mathbb R$wo$h \mapsto ch$.

Wir würden die Aussage dann umschreiben als:

$\color{red}{\forall s_h} \in \mathbb R \left [ 0 \lt |s_h| \lt \delta \rightarrow |f(s_h)-L| \lt \varepsilon \right]$

Dies scheint die bekanntere Notation eines universellen Quantors zu emulieren, bei dem nur ein Symbol auf den Quantor folgt.

Ich kenne die tiefe Theorie hinter der Logik erster Ordnung nicht wirklich, aber ich vermute, der Grund, warum dieser Beweis "funktioniert", ist mein neues Symbol$s_h$hat die Fähigkeit, durch alle Objekte darin zu fegen$\mathbb R$. Anders gesagt, die zuvor definierte Funktion$g$kann als surjektiv in Bezug auf gezeigt werden$\mathbb R$.

Wenn das obige wahr ist, gibt es dann Zeiten, in denen die Änderung der Variablenfunktion nicht surjektiv ist und dies dazu führt, dass die Gleichheit zwischen zwei Grenzwerten fehlschlägt ?