Wenn lim|ak+1/ak|=1lim|ak+1/ak|=1\lim\left| a_{k+1}/a_k \right| =1 im Grenzverhältnistest, folgt daraus, dass die Reihe divergiert?

In meinem Vorlesungsskript lautet der Satz für den Verhältnistest wie folgt:

Lassen ( A k ) k ∈ N sei eine Folge reeller Zahlen mit A k ≠ 0 , ∀ k ≥ k ^ ∈ N .

(a) Wenn a Q ∈ ( 0 , 1 ) und ein k 0 ≥ k ^ so dass:

| A k + 1 A k | ≤ Q , ∀ k ≥ k 0

Dann ∑ A k konvergiert absolut.

b) wenn es eine gibt k 0 ≥ k ^ : | A k + 1 A k | ≥ 1 , ∀ k ≥ k 0 , Dann ∑ A k weicht ab.

Nun lautet die Folgerung für den Ratio-Test im Grenzfall:

Lassen ( A k ) k ∈ N eine Folge reeller Zahlen sein. Wenn

lim k → ∞ | A k + 1 A k | := Q >∈ R
besteht, dann gelten die folgenden zwei Implikationen:

a) wenn Q < 1 ⇒ ∑ A k konvergiert absolut

b) wenn Q > 1 ⇒ ∑ A k weicht ab.

Warum muss q größer als 1 sein, damit Q = 1 würde für die Divergenz der Reihe nicht ausreichen? Weil wenn lim k → ∞ | A k + 1 A k | = 1 , dann existiert ein N 0 so dass für alle N ≥ N 0 : | A k + 1 A k | = 1 , was dazu führen würde, dass die Reihe nach dem ersten Satz divergiert. Kann mir das bitte jemand erklären?

Wenn die Grenze ist 1 , kann der Quotient sein < 1 für alle k . In Betracht ziehen A k = 1 k P für ein festes P > 0 . Der Quotient ist immer < 1 , die Grenze ist 1 , und die Reihe konvergiert, wenn P > 1 und divergiert, wenn P ⩽ 1 .

Antworten (2)

Wenn Q = 1 , könnte die Reihe konvergieren und könnte divergieren. In diesem Fall kann die Konvergenz nicht durch Betrachtung bestimmt werden Q nur.

In Ihrer Diskussion sagten Sie, dass wenn lim k → ∞ | A k + 1 A k | = 1 , es existiert ein N 0 so dass für alle N ≥ N 0 : | A N + 1 A N | = 1 . Dies hat jedoch ein Problem, da "konvergierend zu 1 " ist dasselbe wie "sich willkürlich nähern 1 “, nicht „werden 1 Wenn N ausreichend groß ist". Um genau zu sein, ist, wie Sie wissen, per Definition lim k → ∞ | A k + 1 A k | = 1 ist dasselbe wie: für alle ϵ > 0 es existiert ein N so dass

| | A N + 1 A N | − 1 | < ϵ ∀ N > N .
Es ist nicht dasselbe wie Ihre Aussage: Ihre ist stärker.

Wie Daniel Fischer betonte, wenn Q = 1 , könnte die Reihe konvergieren und könnte divergieren.

„unendlich nah dran 1 " hat keine Bedeutung und könnte für viel Verwirrung sorgen.
@TonyK Ich habe es bearbeitet. Danke für deinen Rat.

Falls vorhanden k 0 ≥ k ^ so dass | A k + 1 A k | ≥ 1 für alle k ≥ k 0 , Dann A k nicht einmal gegen Null tendiert, also kann die Reihe unmöglich konvergieren.

Wenn lim k → ∞ | A k + 1 A k | = 1 , dann ist es nicht unbedingt so | A k + 1 A k | ≥ 1 für alle k ≥ manche k 0 , und die Reihe könnte konvergieren oder auch nicht: Überlegen Sie A k = 1 / k 2 gegen A k = 1 / k .

Wenn lim|ak+1/ak|=1lim|ak+1/ak|=1\lim\left| a_{k+1}/a_k \right| =1 im Grenzverhältnistest, folgt daraus, dass die Reihe divergiert?
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