Konvergenz einer bestimmten unendlichen Reihe

Question

Benutzer716697

So überprüfen Sie die Konvergenz der Reihe

\sum_{N = 1}^{\infty} \frac{X^{N}}{X^{N} + 1} für X \geq 0 .

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{x^n+1}~~\textrm{for}~~x \geq 0~.$

Mein Ansatz: Let $f_n(x)=\frac{x^n}{x^n+1}$ .

Für $0 \leq x <1$ , wir haben

\frac{X^{N}}{X^{N} + 1} \leq X^{N}

$\frac{x^n}{x^n+1} \leq x^n$ Und

\sum x^{n}

$\sum x^n$ ist eine geometrische Reihe mit gemeinsamem Verhältnis

< 1

$< 1$ . Also durch den Weierstraß M-Test

\sum \frac{x^{n}}{x^{n} + 1}

$\sum \frac{x^n}{x^n+1}$ konvergiert gleichmäßig für

x \in [0, 1)

$x \in [0 , 1)$ .

Für $x=1$ , wir haben

\sum \frac{1}{2}

$\sum \frac{1}{2}$ was divergiert.

So überprüfen Sie die Konvergenz für $x > 1$ . Jede Hilfe, um dies zu erreichen, wird sehr geschätzt.

Clemens Yung · Answer 1

Für $x > 1$ , wir haben:

\frac{X^{N}}{X^{N} + 1} = \frac{1}{1 + \frac{1}{X^{N}}} > \frac{1}{2}

$\frac{x^n}{x^n + 1} = \frac{1}{1 + \frac{1}{x^n}} > \frac{1}{2}$ Die Reihe divergiert also.

Andronicus · Answer 2

lim_{N \to \infty} \sqrt[N]{\frac{X^{N}}{X^{N} + 1}} = lim_{N \to \infty} \frac{X}{\sqrt[N]{X^{N} + 1}} = X > 1

$\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{\frac{x^n}{x^n+1}}= \lim_{n \to \infty}\frac{x}{\sqrt[n]{x^n+1}}= x>1$

Tatsächlich kann dies auch Konvergenz für beweisen $x<1$ .