inf(A+B)=infA+infBinf(A+B)=infA+infB\inf{(A+B)}=\inf{A}+\inf{B}: Ein ϵϵ\epsilon Beweis

Ihre Frage lautet "Wie kann man diese Vorlage verwenden, um ... anzuzeigen", und das ist seitdem nicht so schwer zu beantworten$\sup$Und$\inf$sind duale Konzepte (was bedeutet, dass ersteres das "Gegenteil" von letzterem ist und umgekehrt). Aber um dies zu zeigen, indem man dieselbe Vorlage verwendet, muss man die Vorlage vorher verstehen (wobei ich mir nicht so sicher bin, wenn es um Sie geht, aber wem soll ich das beurteilen). Fragen Sie also ruhig nach, wenn Sie etwas nicht verstehen. Wenn Sie nur Ihre Vorlage für haben möchten$\inf$anstatt$\sup$, dann überspringe einfach meine Erläuterungen in den Fußnoten.

Das wollen wir zeigen

für nicht leere und nach unten beschränkte Mengen$A,B\subseteq\mathbb{R}$. ⁽¹⁾

Das zeigen wir erstmal$\inf A+\inf B$ist eine Untergrenze von$A+B$:

Zweitens zeigen wir, dass "alles andere keine Untergrenze ist" ⁽²⁾ :

Für eine Gliederung siehe ⁽³⁾ .

Lassen$\varepsilon >0$gegeben werden. ⁽⁴⁾ Wir haben

⁽⁵⁾

Also für diese$\alpha ,\beta$wir haben

So$\inf A+\inf B+\varepsilon$ist keine Untergrenze.$\checkmark ~~~~\Box$

Ich hoffe, dass ich wie erwartet geantwortet habe und dass dies nicht zu einer größeren Verwirrung führt, als Sie zuvor hatten.

⁽¹⁾ Da sie begrenzt sind, brauchen wir uns nicht um das Infimum zu kümmern$-\infty$.

⁽²⁾ um genau zu sein zeigen wir das$\inf A+\inf B$ist die g̲r̲e̲a̲t̲e̲s̲t̲ Untergrenze.

⁽³⁾ Kurzer Abriss dessen, was wir hier eigentlich machen: Für alle$\varepsilon >0$das zeigen wir$\inf A+\inf B+\varepsilon$ist keine Untergrenze von$A+B$. Es gibt also keine Untergrenze, die größer ist als$\inf A+\inf B$, also muss dies die größte untere Schranke sein.

⁽⁴⁾ Die von Ihnen an dieser Stelle für den obersten Fall angegebene Identität ist offensichtlich, weil$x-\varepsilon<x$für willkürlich$x\in\mathbb{R}, \varepsilon>0$. Ähnlich im kleinsten Fall, den wir haben$\inf A+\inf B+\varepsilon>\inf A+\inf B$, aber Sie müssen das nicht unbedingt erwähnen, weil es Teil der Beweisstrategie ist, wie in ⁽³⁾ zu sehen ist .

⁽⁵⁾ Was links ist, ist nach wie vor offensichtlich. Ich sehe nicht, wie man direkt von der linken auf die rechte Seite ableiten kann, aber wenn Sie wissen, wie, dann ist das in Ordnung (wahrscheinlich haben Sie ein praktisches Lemma oder so). Aber was rechts steht hält sowieso da$\inf X$hat die folgende Eigenschaft: For every$\varepsilon >0$es existiert$x\in X$so dass$x<\inf X+\varepsilon$. (Natürlich können Sie verwenden$\varepsilon$/2 für$\varepsilon$.) Dies gilt für beliebig nach unten beschränkt$X\subseteq \mathbb{R}$.

BEARBEITEN: Beachten Sie, dass die Gleichheit für Sequenzen nicht gilt.

Betrachten Sie die Reihenfolge$A = \{ (-1)^n | n \in \mathbb{N} \}$und die Reihenfolge$B = \{ (-1)^{n+1} | n \in \mathbb{N} \}$Dann

Ihr Beweis funktioniert also nur für bestimmte Mengen.