Beweisen, dass eine Ableitung existiert, wenn die Grenze von f' gegeben ist

Ich habe eine Aufgabe von Baby Rudin fast fertig, aber ich kann den letzten Schritt nicht ganz verstehen. Das Problem ist wie folgt (5.9):

Lassen$f$Sei:

1. eine kontinuierliche reelle Funktion auf$\mathbb{R}^{1}$,
2. von denen das bekannt ist$f'(x)$existiert für alle$x\neq0$, Und
3. $f'(x) \rightarrow 3$als$x \rightarrow 0$.

Folgt es darauf$f'(0)$existiert?

Hier ist, was ich bisher habe:

Nach (1) existiert a$\delta_{1}$mit$|x|<\delta_{1} \rightarrow |f(x)-f(0)|<\frac{\epsilon}{3}$. Nach (2) existiert a$\delta_{2}$mit$|x-t|<\delta_{2}, x\neq0 \rightarrow |\frac{f(t)-f(x)}{t-x}-f'(x)|<\frac{\epsilon}{3}$. Nach (3) existiert a$\delta_{3}$mit$x\neq0, |x|<\delta_{3} \rightarrow |f'(x)-3|<\frac{\epsilon}{3}$.

Also wann$|x|<\min(\delta_{1},\delta_{3})$,$|x-t|<\min(\delta_{2},1)$:

$|\frac{f(t)-f(x)}{t-x}-f'(x)|+|f'(x)-3|+ |f(x)-f(0)| < \epsilon$

$|\frac{f(t)-f(x)}{t-x}-f'(x)+f'(x)-3+f(x)-f(0)| < \epsilon$

$|\frac{f(t)-f(x)}{t-x}-f'(x)+f'(x)-3+\frac{f(x)-f(0)}{t-x}| < \epsilon$

$|\frac{f(t)-f(0)}{t-x}-3|<\epsilon$

Was sehr nah dran ist

$|\frac{f(t)-f(0)}{t}-3|<\epsilon$

was zu einer Lösung des Problems führen würde. Aber ich kann nicht herausfinden, von welcher Bedingung x oder tx kommen soll$|\frac{f(t)-f(0)}{t-x}-3|<\epsilon$Zu$|\frac{f(t)-f(0)}{t}-3|<\epsilon$. Jede Hilfe wäre sehr, sehr dankbar.