Unterschiedliche Definition von Kontinuität

Question

Unterschiedliche Definition von Kontinuität

Hoher Notendurchschnitt

Zustand : $f:I\to\mathbb R$ ist kontinuierlich. Für jede abzählbare Folge von paarweise disjunkten Teilintervallen $(x_k, y_k)$ von $I$ , wir haben $\forall\epsilon\exists\delta$ so dass

\sum_{k} | j_{k} - X_{k} | < δ

$\sum_{k} |y_{k} - x_{k}| < \delta$ impliziert

\sum_{k} | F (j_{k}) - F (X_{k}) | < ϵ .

$\sum_{k} |f(y_{k}) - f(x_{k})| < \epsilon.$

Ist diese Bedingung eine notwendige oder hinreichende Bedingung für die Kontinuität der Absolution? Beachten Sie, dass sich die Reihenfolge der logischen Bezeichner geändert hat.

Eine Funktion $f: I \to \mathbb{R}$ ist auf einem Intervall absolut stetig $I$ wenn für jeden $\epsilon > 0$ da ist ein $\delta > 0$ so dass, wann immer eine endliche Folge von paarweise disjunkten Teilintervallen $(x_k, y_k)$ von $I$ erfüllt
$\sum_{k} | j_{k} - X_{k} | < δ$ $\sum_{k} |y_{k} - x_{k}| < \delta$ Dann $\sum_{k} | F (j_{k}) - F (X_{k}) | < ϵ$ $\sum_{k} |f(y_{k}) - f(x_{k})| < \epsilon$

Antworten (2)

Unterschiedliche Definition von Kontinuität

Kavi Rama Murthy · Answer 1

Ja, sie sind gleichwertig. Angenommen, Sie wählen $\delta$ nach der üblichen Definition der absoluten Stetigkeit mit $\epsilon$ ersetzt durch $\epsilon /2$ . Wenn $(a_k.b_k)$ ist eine disjunkte Folge von Intervallen mit einer Gesamtlänge von weniger als $\delta$ Dann $\sum\limits_{k=1}^{N} |f(b_k)-f(a_k)| < \epsilon /2$ für jede $N$ . Lassen $N \to \infty$ um den Beweis zu vervollständigen.

Vielen Dank für Ihren Unterricht! Sie haben also bewiesen, dass die Definition " $\forall\epsilon\exists\delta(\forall \text{finite subintervals we have} (\sum|y_k-x_k|<\delta \Rightarrow \sum|f(y_k)-f(x_k)|<\epsilon))$ " ist äquivalent zu " $\forall\epsilon\exists\delta(\forall \text{countable subintervals we have} (\sum|y_k-x_k|<\delta \Rightarrow \sum|f(y_k)-f(x_k)|<\epsilon))$ ". Meine erste Bedingung bedeutet jedoch " $\forall \text{countable subintervals}(\forall\epsilon\exists\delta \text{we have} (\sum|y_k-x_k|<\delta \Rightarrow \sum|f(y_k)-f(x_k)|<\epsilon))$ ". Ich bin mir jedoch nicht sicher, ob mein Verständnis richtig ist.

Ramiro · Answer 2

Bei beliebiger Funktion $f:I\to\mathbb R$ (nicht unbedingt stetig), die Bedingung: Für jede abzählbare Folge von paarweise disjunkten Teilintervallen $(x_k, y_k)$ von $I$ , wir haben $\forall\epsilon\exists\delta$ so dass

\sum_{k} | j_{k} - X_{k} | < δ

$\sum_{k} |y_{k} - x_{k}| < \delta$ impliziert

\sum_{k} | F (j_{k}) - F (X_{k}) | < ϵ

$\sum_{k} |f(y_{k}) - f(x_{k})| < \epsilon$ ist trivialerweise wahr.

Beweis: Gegeben sei eine beliebige abzählbare Folge von paarweise disjunkten Teilintervallen $(x_k, y_k)$ von $I$ , Wähl einfach $\delta = \frac{1}{2} \sum_{k} |y_{k} - x_{k}|$ . Dann der Zustand $\sum_{k} |y_{k} - x_{k}| < \delta$ wird falsch sein und so die Implikation " $\sum_{k} |y_{k} - x_{k}| < \delta$ impliziert $\sum_{k} |f(y_{k}) - f(x_{k})| < \epsilon$ “ wird trivial wahr sein.

Diese Bedingung reicht also für absolute Stetigkeit oder gar Stetigkeit nicht aus.

Ja, das habe ich auch gesehen, nachdem Sie die ausführliche Erklärung in der anderen Frage gegeben haben

Unterschiedliche Definition von Kontinuität

Hoher Notendurchschnitt

Antworten (2)

Kavi Rama Murthy

Hoher Notendurchschnitt

Ramiro

Hoher Notendurchschnitt

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