Ein Wendepunkt, an dem die zweite Ableitung nicht existiert?

Nehmen Sie zum Beispiel

Für$x<0$du hast$f''(x) = -2$während für$x > 0$du hast$f''(x) = 2$.$f$ist stetig wie$0$, seit$\lim_{t\to0^-} f(t) = \lim_{t\to0^+} f(t) = 0$, aber da die Linksableitung zweiter Ordnung$-2$unterscheidet sich von der Rechtsableitung zweiter Ordnung$2$bei Null existiert die Ableitung zweiter Ordnung dort nicht.

Für Ihre zweite Frage sind die Dinge vielleicht klarer, wenn Sie dies so sagen

Wenn die zweite Ableitung irgendwann größer als Null oder kleiner als Null ist$x$, dieser Punkt kann kein Wendepunkt sein

Das ist durchaus sinnvoll - wenn die zweite Ableitung existiert und bei einigen positiv (negativ) ist$x$, dann ist die erste Ableitung bei stetig$x$und streng ansteigend (abnehmend) herum$x$. In beiden Fällen,$x$kann kein Wendepunkt sein, da an einem solchen Punkt die erste Ableitung ein lokales Maximum oder Minimum haben muss.

Aber wenn die zweite Ableitung nicht existiert, dann ist eine solche Argumentation nicht möglich, dh für solche Punkte weiß man nichts über das mögliche Verhalten der ersten Ableitung.

Eine Funktion kann stetig sein, aber keine zweite Ableitung haben. Betrachten Sie zum Beispiel

Die Aussage, die Sie geben, besagt nur, dass Sie Punkte ohne zweite Ableitung oder dort, wo sie Null ist, überprüfen müssen . Es gibt Beispiele, wo

1. die zweite Ableitung existiert nicht wie $$f(x)=\cases{ x^2 & $x\le 0$ \\ 2x^2 & $x>0$ }$$
2. die zweite Ableitung existiert und ist nullartig$f(x)=x^4$

aber die Funktion hat keinen Wendepunkt.

Die Funktion$y=x^{{1/3} }$als zweite Ableitung hat$y''= -\frac{2}{9}\,{x}^{-5/3}$, die bei undefiniert ist$x = 0$. Die Steigungen der Tangenten an die ursprüngliche Kurve$y$dazu neigen$\pm \infty$als$x$Ansätze$0$. Obwohl die zweite Ableitung an diesem Punkt undefiniert ist$x = 0$, es ist ein echter Wendepunkt von$y$.

Ein Wendepunkt existiert dort, wo sich die Konkavität ändert. Wo die Ableitung zunimmt, ist der Graph nach oben konkav; wo die Ableitung abnimmt, ist der Graph nach unten konkav. Die Konkavität kann sich ändern, wenn die zweite Ableitung 0 oder undefiniert ist. Sie sagten, dass der Graph stetig sein muss. Ich bin mir nicht sicher, ob das stimmt, aber wenn es so ist, funktioniert es immer noch. Der Graph kann auch dann stetig sein, wenn die zweite Ableitung es nicht ist. Mit anderen Worten, wenn die zweite Ableitung bei x=a undefiniert ist, kann das undifferenzierte f(x) immer noch bei x=a existieren. Nur der Graph muss stetig sein. Die zweite Ableitung muss nicht sein. Ich bin mir nicht sicher, ob ich alle Ihre Fragen beantwortet habe, aber ich hoffe, ich konnte helfen.

Nimm die Funktion$f(x)=x^{1/3}$was hat$0$als Wendepunkt, aber Ableitungen existieren an diesem Punkt nicht. Insbesondere gibt es auch keine doppelte Ableitung.

Ich bin mir nicht sicher, ob das genau das ist, was Sie suchen, aber: die Funktion$f(x) = x^4$hat beide$f'(0)=0$Und$f''(0)=0$, und es hat eine lokale Minute bei$0$.