Differenzierbarkeit von f(x,y)=xy3x2+y2f(x,y)=xy3x2+y2f(x,y)= \frac{xy^3}{x^2+y^2} für (x,y)≠ (0,0)(x,y)≠(0,0)(x,y)\neq (0,0) und 000 für (x,y)=(0,0)(x,y)=(0 ,0)(x,y)=(0,0).

Question

Differenzierbarkeit von f(x,y)=xy3x2+y2f(x,y)=xy3x2+y2f(x,y)= \frac{xy^3}{x^2+y^2} für (x,y)≠ (0,0)(x,y)≠(0,0)(x,y)\neq (0,0) und 000 für (x,y)=(0,0)(x,y)=(0 ,0)(x,y)=(0,0).

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Philipp

Lassen Sie uns überlegen $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ mit
$\begin{aligned} F := {\begin{cases} \frac{X j^{3}}{X^{2} + j^{2}}, & (X, j) \neq (0, 0) \\ 0, & (X, j) = (0, 0) . \end{cases} \end{aligned}$ $\begin{align*} f:=\begin{cases} \frac{xy^3}{x^2+y^2},&(x,y)\neq (0,0)\\0, & (x,y)=(0,0). \end{cases} \end{align*}$

Zeige, dass $f$ ist differenzierbar bei $(0,0)$ .

Mein Ansatz:

Das beweisen wir ${0\choose 0}$ ist die (gesamte) Ableitung am Punkt $(0,0)$ .

Wenn $|x|\geq|y|>0$ Dann

| \frac{X j^{3}}{(X^{2} + j^{2}) \sqrt{X^{2} + j^{2}}} | \leq \frac{| X | | j | j^{2}}{(2 j^{2}) | j | \sqrt{2}} = \frac{| X |}{4} .

$\Big|\frac{xy^3}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}\Big|\leq\frac{|x||y|y^2}{(2y^2)|y|\sqrt{2}}=\frac{|x|}{4}.$ Wenn

| y | \geq | x | > 0

$|y|\geq|x|>0$ Dann

| \frac{X j^{3}}{(X^{2} + j^{2}) \sqrt{X^{2} + j^{2}}} | = \frac{| j |}{(\frac{X^{2}}{j^{2}} + 1) \sqrt{1 + \frac{j^{2}}{X^{2}}}} \leq | j | .

$\Big|\frac{xy^3}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}\Big|=\frac{|y|}{(\frac{x^2}{y^2}+1)\sqrt{1+\frac{y^2}{x^2}}}\leq |y|.$ Unter Berücksichtigung dieser Grenzen betrachten wir die Grenze:

\begin{aligned} lim_{(\binom{X}{j}) \to (\binom{0}{0})} \frac{F (X, j) - F (0, 0) - (\binom{0}{0}) ((\binom{X}{j}) - (\binom{0}{0}))}{“ (\binom{X}{j}) - (\binom{0}{0}) “_{2}} = lim_{(\binom{X}{j}) \to (\binom{0}{0})} \frac{\frac{X j^{3}}{X^{2} + j^{2}}}{“ (\binom{X}{j}) “_{2}} = lim_{(\binom{X}{j}) \to (\binom{0}{0})} \frac{X j^{3}}{(X^{2} + j^{2}) \sqrt{X^{2} + j^{2}}}, Wo (X, j) \neq (0, 0) . \end{aligned}

$\begin{align*} \lim\limits_{{x\choose y}\to{0\choose 0}}\frac{f(x,y)-f(0,0)-{0\choose 0}\left({x\choose y}-{0\choose 0}\right)}{\Vert{x\choose y}-{0\choose 0}\Vert_2 }=\lim\limits_{{x\choose y}\to{0\choose 0}}\frac{\frac{xy^3}{x^2+y^2}}{\Vert{x\choose y}\Vert_2 }=\lim\limits_{{x\choose y}\to{0\choose 0}}\frac{xy^3}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}},\text{ where } (x,y)\neq (0,0). \end{align*}$ Wenn

x = 0

$x=0$ oder

y = 0

$y=0$ dann ist die obige Grenze

0

$0$ . Wenn

| y | \geq | x | > 0

$|y|\geq|x|>0$ oder

| x | \geq | y | > 0

$|x|\geq|y|>0$ dann verwenden wir die oberen Grenzen und sehen, dass die Grenze wieder ist

0

$0$ . Somit,

f

$f$ ist (total) differenzierbar in

(0, 0)

$(0,0)$ .

Ist das richtig? Unser Tutor sagte uns, dass wir bei der totalen Differenzierbarkeit lieber beweisen sollten, dass die Teiltöne stetig sind. Vielleicht war es in diesem Fall einfach Glück, dass man die Matrix/Ableitung leicht sehen konnte.

Antworten (3)

Differenzierbarkeit von f(x,y)=xy3x2+y2f(x,y)=xy3x2+y2f(x,y)= \frac{xy^3}{x^2+y^2} für (x,y)≠ (0,0)(x,y)≠(0,0)(x,y)\neq (0,0) und 000 für (x,y)=(0,0)(x,y)=(0 ,0)(x,y)=(0,0).

Jose Carlos Santos · Answer 1

Es sieht richtig aus, aber es ist einfacher zu sehen, wenn $x=\rho\cos(\theta)$ Und $y=\rho\sin(\theta)$ , Dann

| \frac{X j^{3}}{(X^{2} + j^{2})^{3 / 2}} | = ρ | \cos (θ) {Sünde}^{3} (θ) | ⩽ ρ = \sqrt{X^{2} + j^{2}} .

$\left|\frac{xy^3}{(x^2+y^2)^{3/2}}\right|=\rho|\cos(\theta)\sin^3(\theta)|\leqslant\rho=\sqrt{x^2+y^2}.$ Deshalb,

lim_{(X, j) \to (0, 0)} \frac{X j^{3}}{(X^{2} + j^{2})^{3 / 2}} = 0.

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^3}{(x^2+y^2)^{3/2}}=0.$

xpaul · Answer 2

Beachten

\frac{| X |}{\sqrt{X^{2} + j^{2}}} \leq 1, \frac{j^{2}}{X^{2} + j^{2}} \leq 1,

$\frac{|x|}{\sqrt{x^2+y^2}}\le 1, \frac{y^2}{x^2+y^2}\le1,$ hat man

| \frac{X j^{3}}{(X^{2} + j^{2}) \sqrt{X^{2} + j^{2}}} | = | j | \frac{| X |}{\sqrt{X^{2} + j^{2}}} \cdot \frac{j^{2}}{X^{2} + j^{2}} \leq | j |

$\bigg|\frac{xy^3}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}\bigg|=|y|\frac{|x|}{\sqrt{x^2+y^2}}\cdot\frac{y^2}{x^2+y^2}\le|y|$ was gibt

lim_{(\binom{X}{j}) \to (\binom{0}{0})} \frac{X j^{3}}{(X^{2} + j^{2}) \sqrt{X^{2} + j^{2}}} = 0.

$\lim\limits_{{x\choose y}\to{0\choose 0}}\frac{xy^3}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}=0.$

Ich bin Will · Answer 3

Ihre Argumentation sieht richtig aus, aber sie sieht auch etwas ungewöhnlich aus. Lassen Sie mich Ihnen einen anderen Standpunkt nennen, der wahrscheinlich natürlicher ist, wenn es um diese Art von Problemen geht.

Versuchen Sie zunächst, sich davon zu überzeugen, dass es sich um die Ableitung einer multivariaten Funktion handelt $f$ besteht bei $x$ (bezeichnen wir es mit $Df(x)$ ), es erfüllt:

D F (X) v = lim_{T \to 0} \frac{F (X + T v) - F (X)}{T}

$Df(x)v = \lim_{t\to 0}\frac{f(x+tv)-f(x)}{t}$ für jeden

v

$v$ .

In Ihrem Fall liegt die obige Grenze bei $x=0$ wird:

lim_{T \to 0} \frac{F (T v) - F (0)}{T} = lim_{T \to 0} \frac{T^{4} H k^{3}}{T^{3} (H^{2} + k^{2})} = 0

$\lim_{t\to 0}\frac{f(tv)-f(0)}{t} = \lim_{t\to 0}\frac{t^{4}hk^{3}}{t^{3}(h^{2}+k^{2})} = 0$ wo ich geschrieben habe

v = (h, k) \in R^{2}

$v = (h,k) \in \mathbb{R}^{2}$ . Daher der natürliche Kandidat für

D f (0) v

$Df(0)v$ ist Null. Das Problem reduziert sich dann, um zu prüfen, ob die Grenze:

\begin{matrix} (1) & lim_{(H, k) \to (0, 0)} \frac{H k^{3}}{(H^{2} + k^{2})^{\frac{3}{2}}} \end{matrix}

$\lim_{(h,k)\to (0,0)}\frac{hk^{3}}{(h^{2}+k^{2})^{\frac{3}{2}}} \tag{1}\label{1}$ existiert. Nehmen

h = r \cos θ

$h = r\cos\theta$ Und

k = r \sin θ

$k = r\sin\theta$ . Dann:

\begin{matrix} (2) & \frac{H k^{3}}{(H^{2} + k^{2})^{\frac{3}{2}}} = R \cos θ {Sünde}^{3} θ \end{matrix}

$\frac{hk^{3}}{(h^{2}+k^{2})^{\frac{3}{2}}} = r\cos\theta\sin^{3}\theta \tag{2} \label{2}$ also wann

(h, k) \to (0, 0)

$(h,k) \to (0,0)$ , wir haben

r \to 0

$r \to 0$ Und (

1

$\ref{1}$ ) geht wegen (

2

$\ref{2}$ ). Diese Grenze ist unabhängig vom eingeschlagenen Weg, weil sie nicht davon abhängt

θ

$\theta$ . Also die Ableitung von

f

$f$ bei Null existiert und gleich Null ist.

In $lim_{T \to 0} \frac{F (T H) - F (0)}{T} = \frac{T^{4} H k^{3}}{T^{3} (H^{2} + k^{2})^{\frac{3}{2}}} = 0$ $\lim_{t\to 0}\frac{f(t\color{red}{h})-f(0)}{t} = \frac{t^{4}hk^{3}}{t^{3}(h^{2}+k^{2})^{\color{red}{\frac{3}{2}}}} = 0$ Es sollte sein $lim_{T \to 0} \frac{F (T v) - F (0)}{T} = lim_{T \to 0} \frac{T^{4} H k^{3}}{T^{3} (H^{2} + k^{2})} = 0$ $\lim_{t\to 0}\frac{f(t \color{green}{v})-f(0)}{t} = \color{green}{\lim_{t\to 0}}\frac{t^{4}hk^{3}}{t^{3}(h^{2}+k^{2})} = 0$
Wir sollten beachten, dass die Konvergenz in (2) gleichmäßig ist wie $r \to 0$ , da der Grenzwert unabhängig von ist $\theta$ reicht nicht aus, um zu zeigen, dass die Grenze (1) existiert.

Differenzierbarkeit von f(x,y)=xy3x2+y2f(x,y)=xy3x2+y2f(x,y)= \frac{xy^3}{x^2+y^2} für (x,y)≠ (0,0)(x,y)≠(0,0)(x,y)\neq (0,0) und 000 für (x,y)=(0,0)(x,y)=(0 ,0)(x,y)=(0,0).

Philipp

Antworten (3)

Jose Carlos Santos

xpaul

Ich bin Will

jjagmath

Ich bin Will

jjagmath

Brian Möhring

Ich bin Will

Ich bin Will

Fertigen Sie aus dem Graphen der Ableitung f′(x)f′(x)f'(x) eine Skizze der ursprünglichen Funktion f(x)f(x)f(x) und der zweiten Ableitung f′′( x)f''(x)f''(x)

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f≠0f≠0f ≠ 0 überall wenn f:R→Rf:R→Rf : \mathbb{R}\to\mathbb{R} und f=f′f=f′f = f′ und f(0)= 1f(0)=1f(0) = 1?

Von der Begründung des Mittelwertsatzes

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