Alternativer Ansatz zum Derivat

Sie können das Derivat nicht als solches definieren. Lassen Sie zum Beispiel$a=b=0$Und

$$f(x)\equiv |x|, g(x)\equiv |x|, h(x)\equiv 0.$$ Dann$f'(a)$ist nicht genau definiert, aber

$$\lim_{x\to b}\frac{f(g(x))-f(h(x))}{g(x)-h(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{|x|-0}{|x|-0}=1.$$

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Nun, unter besonderen Umständen kann Ihr Limit tatsächlich gleich sein$f'(a).$Zum Beispiel z$f$stetig differenzierbar bei$a$Und$g,h$stetig differenzierbar bei$b$mit$g'(b)\neq h'(b)$dann sagt uns die Regel von L'Hopital

$$\lim_{x\to b}\frac{f(g(x))-f(h(x))}{g(x)-h(x)}=\lim_{x\to b}\frac{f'(g(x))g'(x)-f' (h(x))h'(x)}{g'(x)-h'(x)}=f'(a).$$