Beweis der Korrektheit der alternativen Ableitungsdefinition

Question

Beweis der Korrektheit der alternativen Ableitungsdefinition

Ufuk Can Bicici

Wir wissen, dass die Ableitung existiert als $f'(x)=\lim_{h \to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ . Wie können wir anhand dessen beweisen, dass dies der Fall ist? $f'(x)=\lim_{h \to 0}\dfrac{f(x)-f(x-h)}{h}$ sowie? Ich habe es mit der Definition der Grenze versucht: Wenn es eine gibt, dann existieren die beiden einseitigen Grenzen auch und sind ihr gleich.

F^{'} (X) = lim_{H \to 0} \frac{F (X + H) - F (X)}{H} = lim_{H \to 0^{+}} \frac{F (X + H) - F (X)}{H} = lim_{H \to 0^{-}} \frac{F (X + H) - F (X)}{H}

$f'(x)=\lim_{h \to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \to 0^+}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} =\lim_{h \to 0^-}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ Ich denke, dass dies leicht zum Beweis führen sollte, aber irgendwie fehlt es mir.

fastest

In der gewöhnlichen Definition der Ableitung bedeutet der Grenzwert den zweiseitigen Grenzwert. Es funktioniert also automatisch, wenn Sie es ersetzen

h

$h$ von

- h

$-h$ . Natürlich ist es einfach, Funktionen zu finden, bei denen eine einseitige Grenze existiert, aber keine zweiseitige Grenze.

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Beweis der Korrektheit der alternativen Ableitungsdefinition

In der gewöhnlichen Definition der Ableitung bedeutet der Grenzwert den zweiseitigen Grenzwert. Es funktioniert also automatisch, wenn Sie es ersetzen $h$ von $-h$ . Natürlich ist es einfach, Funktionen zu finden, bei denen eine einseitige Grenze existiert, aber keine zweiseitige Grenze.

GuiguiDt · Answer 1

Lass uns nehmen $k=-h$

lim_{H \to 0} \frac{F (X + H) - F (X)}{H} = lim_{k \to 0} \frac{F (X - k) - F (X)}{- k} = lim_{k \to 0} \frac{F (X) - F (X - k)}{k}

$\lim_{h \to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{k \to 0}\dfrac{f(x-k)-f(x)}{-k} =\lim_{k \to 0}\dfrac{f(x)-f(x-k)}{k}$ Aber k ist nur ein Variablenname, den Sie jetzt durch h ersetzen können.

Beweis der Korrektheit der alternativen Ableitungsdefinition

Ufuk Can Bicici

fastest

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GuiguiDt

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