Wie uns das Konzept einer Grenze erlaubt, von den Sekanten zu den Tangenten zu wechseln

Lassen Sie uns also die Definition einer Sekantenlinie, die Definition einer Tangentenlinie und die Definition der Ableitung überprüfen:

Eine Schnittlinie zu einer Kurve ist eine Linie, die die Kurve an zwei verschiedenen Punkten schneidet.

Die Ableitung einer Funktion$f(x)$am Punkt$a$, bezeichnet$f'(a),$ist als Grenze definiert

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},$$ sofern diese Grenze besteht.

Eine Tangente an eine Kurve$f(x)$an einem Punkt$a$, falls vorhanden, wird als diese Linie mit Steigung definiert$f'(a)$durch den Punkt gehen$(a, f(a)).$

(Nebenbemerkung: Eine Tangente ist definitiv KEINE Linie, die eine Kurve nur an einer Stelle schneidet. Dies ist eine übliche, aber fehlgeleitete Definition der Tangente, die häufig in Geometrielehrbüchern der High School anzutreffen ist, und ist im Allgemeinen falsch, obwohl sie für Kegelschnitte wie Kreise, Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln. Es ist besser, sich Tangenten in Bezug auf die Ableitung vorzustellen.)

Beachten Sie zunächst, dass die Ableitung als Limit definiert ist . Damit die Ableitung existiert, muss also der Grenzwert existieren. Es gibt mehrere Möglichkeiten, wie ein Limit im Allgemeinen nicht existieren kann (rechte und linke Limits ungleich, Unendlichkeiten usw.), und es gibt weitere Möglichkeiten, wie ein Derivat-Limit nicht existieren kann. Während dies zum Beispiel nicht ausreicht, damit die Ableitung existiert, muss die Funktion at stetig sein$a$. Das bedeutet$\lim_{x\to a}f(x)=f(a),$eine Aussage, die drei nicht triviale Dinge sagt: 1. Die Grenze existiert. 2.$f(a)$ist definiert. 3. Der Grenzwert entspricht dem Wert der Funktion. Jede davon kann fehlschlagen. Außerdem könntest du z.B. eine Ecke an haben$a$. Die Funktion$f(x)=|x|$hat eine Ecke an$a=0$. Während die Funktion dort stetig ist,

$$1=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{|x|-|0|}{x-0}\not=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{|x|-|0|}{x-0}=-1.$$ Die Funktion$f(x)=|x|$ist also at nicht differenzierbar$x=0,$weil die erforderliche Grenze nicht existiert. Stellen Sie sich die Ecke geometrisch so vor: Welchen einzigartigen Wert könnten Sie der "Steigung" von zuweisen?$|x|$bei$x=0?$Sie können beliebig viele Kandidaten ziehen. Was die Grenzwertdefinition besagt, ist, dass Sie in der Lage sein müssen, einen eindeutigen Wert für die Steigung an einem Punkt zu finden , damit die Funktion an diesem Punkt differenzierbar ist.

Beachten Sie bei der Beziehung zwischen Sekanten und Tangenten, dass die Neigung der Sekanten zu$f$an den Punkten$x$Und$a$wird von gegeben

$$m=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$ Die Steigung der Tangente an$f(x)$bei$x=a$ist definiert als die Grenze der Steigungen der Sekantenlinie. Sie können sich geometrisch vorstellen, dass Sie den Punkt lassen$x$willkürlich nahe kommen$a$. In der Grenze erhalten Sie die Tangente (sofern die Grenze existiert).