Unterschied zwischen dem Wert einer Funktion an einem Punkt und ihrem Grenzwert an diesem Punkt?

Question

Unterschied zwischen dem Wert einer Funktion an einem Punkt und ihrem Grenzwert an diesem Punkt?

Grenzen
Infinitesimalrechnung
Kontinuität
Mathematik

Kashi

Als Gymnasiast verstehe ich den grundlegenden, theoretischen Unterschied zwischen den beiden, da Grenze ist, was sich diese Funktion nähert, wenn sich die Eingabe etwas nähert (aber nie gleich) oder wie sie sich in der Nähe dieses Punktes verhält usw. usw. Aber manchmal es scheint keinen Sinn zu machen. Wie in einigen Lehrbüchern, wenn bestimmte einfache Grenzwerte wie folgt bewertet werden:

Sie ersetzen einfach den Wert 4 und werten ihn so aus:

Aber wie unterscheidet es sich dann von der Bewertung der Funktion selbst an diesem Punkt? Man kann sagen, dass hier sowohl die Grenze als auch der Wert an diesem Punkt gleich sind, aber ich weise auf die hier verwendete Methode hin, EINFACHER ERSATZ!

Neben einem besseren Verständnis des Unterschieds zwischen den beiden möchte ich auch verstehen, was es bedeutet, wenn sowohl der Wert an diesem Punkt als auch die Grenze definiert sind, aber dennoch unterschiedlich sind . Weil mir gesagt wurde, dass Grenzen verwendet werden, um undefinierte Werte zu bewerten /Ausdrücke wie $\frac{0}{0}$ , $\infty / \infty$ , $0^{0}$ usw. Für Ex-

Beide sind wohldefiniert und doch verschieden. Was bedeutet dieser Unterschied in Fällen wie diesen?

Benutzer2661923

Wenn

f (x)

$f(x)$ ist in einer Nachbarschaft von definiert

(x_{0})

$(x_0)$ ,

f (x)

$f(x)$ ist definiert bei

x_{0}

$x_0$ , Und

f (x)

$f(x)$ ist eine stetige Funktion at

x_{0}

$x_0$ , Dann

lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0}) .

$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0).$ Hier, eine Nachbarschaft von Radius

δ > 0

$\delta > 0$ , um

x_{0}

$x_0$ bezeichnet alle

x

$x$ so dass

0 < | x - x_{0} | < δ .

$0 < |x - x_0| < \delta.$ Die Funktion

F (X) = \frac{4 X + 3}{X - 2}

$f(x) = \frac{4x+3}{x-2}$ ist gut definiert bei

x = 4

$x = 4$ , definiert in einer Nachbarschaft um

x = 4

$x = 4$ , und kontinuierlich bei

x = 4

$x=4$ .

Benutzer2661923

In Bezug auf den vorherigen Kommentar könnte argumentiert werden, dass es sich um einen Zirkelschluss handelt, da ich annehme (re Kontinuität), was er beweisen soll . Es gibt andere Ergebnisse in Real Analysis, die das belegen

f (x)

$f(x)$ ist eine stetige Funktion at

x = 4

$x = 4$ . Zum Beispiel sind sowohl der Zähler als auch der Nenner stetige Funktionen bei

x = 4

$x = 4$ , und der Quotient zweier stetiger Funktionen ist selbst eine stetige Funktion, solange der Nenner an der betreffenden Stelle nicht gleich ist

0

$0$ .

Paramanand Singh

Sie können sich diese Antwort ansehen: math.stackexchange.com/a/1822706/72031

Paramanand Singh

Sie sollten auch daran denken, dass Grenzen nicht durch EINFACHE SUBSTITUTION ausgewertet werden, sondern durch die Verwendung von Theoremen, die dazu bestimmt sind, Grenzen auszuwerten. Haben Sie Sätze gesehen, die sich mit dem Grenzwert der Summe, der Differenz, dem Produkt und dem Quotienten zweier Funktionen befassen? Sie müssen solche Theoreme in Kombination mit zwei weiteren einfachen Ergebnissen verwenden:

lim_{x \to a} x = a, lim_{x \to a} k = k

$\lim_{x\to a} x=a, \lim_{x\to a} k=k$ . Für einen ersten Kurs in Analysis ist es nicht erforderlich, Beweise für solche Sätze zu kennen, aber man muss lernen, wie man sie anwendet.

Paramanand Singh

Ich hoffe, Ihr Lehrer oder Lehrbuch erwähnt diese Theoreme, die sehr wichtig sind, um ein solides Verständnis der Grenzen zu haben.

Kashi

@ParamanandSingh, ich denke, sie tun es (Lehrbuch tut es, Lehrer nicht so sehr) und ja, Beweise für alle sind nicht da. Ich werde deine Antwort auf jeden Fall lesen. Danke schön!

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Unterschied zwischen dem Wert einer Funktion an einem Punkt und ihrem Grenzwert an diesem Punkt?

Wenn $f(x)$ ist in einer Nachbarschaft von definiert $(x_0)$ , $f(x)$ ist definiert bei $x_0$ , Und $f(x)$ ist eine stetige Funktion at $x_0$ , Dann $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0).$ Hier, eine Nachbarschaft von Radius $\delta > 0$ , um $x_0$ bezeichnet alle $x$ so dass $0 < |x - x_0| < \delta.$ Die Funktion $F (X) = \frac{4 X + 3}{X - 2}$ $f(x) = \frac{4x+3}{x-2}$ ist gut definiert bei $x = 4$ , definiert in einer Nachbarschaft um $x = 4$ , und kontinuierlich bei $x=4$ .
In Bezug auf den vorherigen Kommentar könnte argumentiert werden, dass es sich um einen Zirkelschluss handelt, da ich annehme (re Kontinuität), was er beweisen soll . Es gibt andere Ergebnisse in Real Analysis, die das belegen $f(x)$ ist eine stetige Funktion at $x = 4$ . Zum Beispiel sind sowohl der Zähler als auch der Nenner stetige Funktionen bei $x = 4$ , und der Quotient zweier stetiger Funktionen ist selbst eine stetige Funktion, solange der Nenner an der betreffenden Stelle nicht gleich ist $0$ .
Sie können sich diese Antwort ansehen: math.stackexchange.com/a/1822706/72031
Sie sollten auch daran denken, dass Grenzen nicht durch EINFACHE SUBSTITUTION ausgewertet werden, sondern durch die Verwendung von Theoremen, die dazu bestimmt sind, Grenzen auszuwerten. Haben Sie Sätze gesehen, die sich mit dem Grenzwert der Summe, der Differenz, dem Produkt und dem Quotienten zweier Funktionen befassen? Sie müssen solche Theoreme in Kombination mit zwei weiteren einfachen Ergebnissen verwenden: $\lim_{x\to a} x=a, \lim_{x\to a} k=k$ . Für einen ersten Kurs in Analysis ist es nicht erforderlich, Beweise für solche Sätze zu kennen, aber man muss lernen, wie man sie anwendet.
Ich hoffe, Ihr Lehrer oder Lehrbuch erwähnt diese Theoreme, die sehr wichtig sind, um ein solides Verständnis der Grenzen zu haben.
@ParamanandSingh, ich denke, sie tun es (Lehrbuch tut es, Lehrer nicht so sehr) und ja, Beweise für alle sind nicht da. Ich werde deine Antwort auf jeden Fall lesen. Danke schön!

Benutzer7530 · Answer 1

Die Definition der Grenze von $f(x)$ bei $x=x_0$ betrachtet das Verhalten von $f$ wie du dich näherst $x_0$ , schaut sich den Wert aber nicht wirklich an $x_0$ .

Also zum Beispiel, wenn Sie die Funktion haben

F (X) = {\begin{cases} 0, & X \neq 0 \\ 1, & X = 0 \end{cases}

$f(x) = \begin{cases}0, &x\neq 0\\1, &x=0\end{cases}$ Dann

f (0) = 1

$f(0)=1$ Aber

lim_{x \to 0} f (x) = 0.

$\lim_{x\to 0} f(x) = 0.$

Für stetige Funktionen gilt: $f(x_0) = \lim_{x\to x_0} f(x)$ . (Dass die Grenzen einer Funktion existieren und gleichbedeutend mit der einfachen Bewertung der Funktion sind, ist schließlich die Definition von Stetigkeit.) Viele Lehrbücher bewerten Grenzen durch Einstecken $x_0$ wenn die fragliche Funktion "offensichtlich" stetig ist $x_0$ . Die meisten Funktionen, denen Sie "in freier Wildbahn" begegnen, sind fast überall stetig, einschließlich Polynome, rationale Funktionen, trigonometrische Funktionen und Kompositionen aus diesen Stücken. Um ganz streng zu sein, sollten Sie beweisen, dass eine bestimmte Funktion kontinuierlich ist, bevor Sie sie anschließen, um ein Limit zu bewerten, aber in der Praxis werden Sie diesen Schritt überspringen, wenn Sie erfahrener und komfortabler werden.

Der Grund der unbestimmten Formen wie $\frac{0}{0}$ so sehr betont werden, ist, dass sie einer der häufigsten Fälle sind, in denen die Stetigkeit einer Funktion nicht offensichtlich ist und in denen manchmal eine sorgfältige Analyse unter Verwendung der Grenzwertdefinitionen erforderlich ist.

Brian Lai · Answer 2

Der Trick, den Ihr Lehrbuch verwendet, ist das Ergebnis:

Eine wirklich wertvolle Funktion $f:D \rightarrow \mathbb{R}$ auf Domäne $D \subseteq \mathbb{R}$ ist stetig bei $c \in \mathbb{R}$ Wenn $\lim_{x \rightarrow c} f(x) = f(c)$ .

Das Lehrbuch sagt also im Grunde: „Wir kennen diese Funktion $f(x) = \frac{4x+3}{x-2}$ ist stetig bei $x = 4$ , also können wir einfach nehmen $\lim_{x \rightarrow 4} f(x) = f(4).$ "

Aber Moment mal! Woher kennen wir die Funktion $f(x) = \frac{4x+3}{x-2}$ ist stetig bei $x = 4$ ??? Um das zu zeigen $f(x) = \frac{4x+3}{x-2}$ ist stetig bei $x = 4$ müssen wir das nicht erst zeigen $\lim_{x \rightarrow 4} f(x) = f(4)$ ????

Das Lehrbuch verwendet also mehr oder weniger eine Zirkellogik, um dieses Problem anzugehen. Aber für viele praktische Zwecke wissen wir aus früheren Erfahrungen, wo gemeinsame Funktionen kontinuierlich/diskontinuierlich sind. Wenn wir wissen, dass die Funktion am Grenzwert stetig ist, können wir eine einfache Substitution verwenden.

Ein strengerer Beweis dafür $\lim_{x \rightarrow 4} \frac{4x+3}{x-2} = \frac{19}{2}$ würde so gehen:

Lassen $\epsilon > 0$ . Wählen $\delta = \min\{\frac{2}{11}\epsilon , 1\}$ und lass $\vert x - 4 \vert < \delta$ .

Dann, $\vert f(x) - \frac{19}{2}\vert = \vert\frac{4x+3}{x-2} - \frac{19}{2}\vert = \vert \frac{-11x+44}{2x-4} \vert = 11 \vert x-4 \vert \vert \frac{1}{2x-4} \vert$ .

Beachten Sie, dass $\frac{1}{6} \le \vert \frac{1}{2x-4} \vert \le \frac{1}{2}$ , So,

$11 \vert x-4 \vert \vert \frac{1}{2x-4} \vert \le \frac{11}{2} \vert x-4 \vert < \frac{11}{2}\delta \le \epsilon$ . Deshalb, $\lim_{x \rightarrow 4} \frac{4x+3}{x-2} = \frac{19}{2}$ . $\square$

Sie würden lernen, dass dies ein College-Kurs zur Einführung in die echte Analyse ist, aber für einen HS-Kurs zur Einführung in die Analysis ist es ein bisschen übertrieben. Sie möchten, dass Sie ein Konzept der Grenzen erhalten, bevor Sie in die Strenge gehen (das heißt, wenn Sie dies jemals tun). Für viele angewandte MINT-Berufe sind die Grundbegriffe der Grenzen mehr als ausreichend.

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Benutzer7530

Brian Lai

Berechne limx→−2x+2sin(πx2)limx→−2x+2sin⁡(πx2)\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{\sin(\frac{\pi x}{2} )} mit Kontinuität (ohne L'Hospital)

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