Berechne limx→−2x+2sin(πx2)limx→−2x+2sin⁡(πx2)\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{\sin(\frac{\pi x}{2} )} mit Kontinuität (ohne L'Hospital)

Question

Berechne limx→−2x+2sin(πx2)limx→−2x+2sin⁡(πx2)\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{\sin(\frac{\pi x}{2} )} mit Kontinuität (ohne L'Hospital)

Grenzen
Infinitesimalrechnung
Kontinuität
Mathematik
grenzen-ohne-krankenhaus

Der Senat

Ein kleiner Hintergrund: Ich bin TA für eine Calculus I-Klasse (hauptsächlich Nicht-Mathe-Majors), und diese Aufgabe tauchte auf dem Arbeitsblatt für morgen auf. Wir haben die Grenzen vollständig entwickelt, einschließlich des Squeeze-Theorems und der Stetigkeit, aber wir haben die Regel von L'Hospital noch nicht behandelt. Ich bin mir nicht sicher, wie die Studenten das angehen sollen. Vielleicht fehlt mir etwas. Hier ist das Problem:

Verwenden Sie Kontinuität, um die Grenze auszuwerten. Begründen Sie Ihre Antwort (insbesondere warum Sie Kontinuität verwenden können).

lim_{X \to - 2} \frac{X + 2}{Sünde (\frac{π X}{2})} .

$\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{\sin\big(\frac{\pi x}{2}\big)}.$

Wir sehen, dass diese Funktion nicht stetig ist (ein Loch hat). $-2$ und übrigens bei allen Werten von $x$ das macht $\sin\big(\frac{\pi x}{2}\big) = 0$ . Wir werden bekommen $\frac{0}{0}$ wenn wir alle Schritte tun, um an den Punkt zu gelangen, an dem wir uns einfach anschließen können $-2$ . Wir können die Regel von L'Hospital nicht verwenden. Die beste Richtung sehe ich in etwa so:
$\begin{aligned} lim_{X \to - 2} \frac{X + 2}{Sünde (\frac{π X}{2})} & = lim_{X \to - 2} \frac{X}{Sünde (\frac{π X}{2})} + lim_{X \to - 2} \frac{2}{Sünde (\frac{π X}{2})} \\ = \frac{2}{π} lim_{X \to - 2} \frac{\frac{π X}{2}}{Sünde (\frac{π X}{2})} + 2 lim_{X \to - 2} \frac{1}{Sünde (\frac{π X}{2})} \end{aligned}$ $\begin{align*} \lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{\sin\big(\frac{\pi x}{2}\big)} &= \lim_{x \to -2} \frac{x}{\sin\big(\frac{\pi x}{2}\big)} + \lim_{x \to -2} \frac{2}{\sin\big(\frac{\pi x}{2}\big)}\\ &= \frac{2}{\pi}\lim_{x \to -2} \frac{\frac{\pi x}{2}}{\sin\big(\frac{\pi x}{2}\big)} + 2\lim_{x \to -2} \frac{1}{\sin\big(\frac{\pi x}{2}\big)} \end{align*}$ Von dort aus können wir vielleicht etwas tun $\frac{\sin(x)}{x}$ -Typ-Ding mit dem linken Begriff, aber ich bin mir nicht ganz sicher, was ich mit dem rechten Begriff machen soll.

AlvinL

Die erste Gleichheit funktioniert, wenn die einzelnen Grenzen existieren und endlich sind.

Der Senat

WAHR. Ich vermute, dass der linke existiert, aber ich denke, der zweite nicht. Bei L'Hospital's lautet die Antwort

\frac{- 2}{π}

$\frac{-2}{\pi}$ Ich finde.

Kavi Rama Murthy

Hinweis:

\sin (\frac{π x}{2}) = - \sin (π + \frac{π x}{2}) \sim - (π + \frac{π x}{2})

$\sin (\frac {\pi x} 2)=-\sin (\pi +\frac {\pi x} 2) \sim - (\pi +\frac {\pi x} 2)$ als

x \to - 2

$x \to -2$ . Die Antwort ist

- \frac{2}{π}

$-\frac 2 {\pi}$ .

ultralegend5385

Möglicherweise können Sie das Ding im Inneren so drehen, dass Sie es direkt verwenden können

\sin x = x

$\sin x = x$ als

x \to 0

$x\to0$ .

boojum

Sie teilen die Grenze einer unbestimmten Form in zwei Grenzen auf, die nicht unbestimmt sind, was wahrscheinlich nicht hilfreich ist. Versuchen Sie es mit einem Ersatz

u = x + 2

$\ u \ = \ x + 2 \$ , verwenden Sie die Eigenschaften der Sinusfunktion, um sie als zu schreiben

- \sin (π / 2 \cdot u)

$\ -\sin(\pi/2 · u) \$ und verwenden Sie das Grenzwertgesetz für

\frac{\sin u}{u}

$\ \frac{\sin u}{u} \$ als

u \to 0

$\ u \rightarrow 0 \$ passend.

BCLC

1 - Squeeze-Theorem? 2 - ist dir das Ding erlaubt

\frac{\sin (u)}{u}

$\frac{\sin(u)}{u}$ ? Ich denke, hier ist ein Ersatz zu machen

Xander Henderson

Ich mag die Aussage "Wir sehen, dass diese Funktion bei −2 nicht stetig ist (ein Loch hat)" wirklich nicht. Die Funktion ist bei nicht definiert

x = - 2

$x=-2$ . Ich denke im Allgemeinen, dass es unangemessen ist, darüber zu sprechen, ob eine Funktion an einem Punkt, der nicht in ihrem Bereich liegt, stetig ist oder nicht. Zum Beispiel ist

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$ kontinuierlich bei

- 1

$-1$ ? Ich denke, ich könnte so oder so ein gutes Argument vorbringen, je nachdem, wie genau "Kontinuität" definiert wurde. Man kann nicht „einfach einstecken

- 2

$-2$ ", weil die Funktion nicht definiert ist

- 2

$-2$ , nicht weil die Funktion dort unstetig ist.

Antworten (3)

Berechne limx→−2x+2sin(πx2)limx→−2x+2sin⁡(πx2)\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{\sin(\frac{\pi x}{2} )} mit Kontinuität (ohne L'Hospital)

Die erste Gleichheit funktioniert, wenn die einzelnen Grenzen existieren und endlich sind.
WAHR. Ich vermute, dass der linke existiert, aber ich denke, der zweite nicht. Bei L'Hospital's lautet die Antwort $\frac{-2}{\pi}$ Ich finde.
Hinweis: $\sin (\frac {\pi x} 2)=-\sin (\pi +\frac {\pi x} 2) \sim - (\pi +\frac {\pi x} 2)$ als $x \to -2$ . Die Antwort ist $-\frac 2 {\pi}$ .
Möglicherweise können Sie das Ding im Inneren so drehen, dass Sie es direkt verwenden können $\sin x = x$ als $x\to0$ .
Sie teilen die Grenze einer unbestimmten Form in zwei Grenzen auf, die nicht unbestimmt sind, was wahrscheinlich nicht hilfreich ist. Versuchen Sie es mit einem Ersatz $\ u \ = \ x + 2 \$ , verwenden Sie die Eigenschaften der Sinusfunktion, um sie als zu schreiben $\ -\sin(\pi/2 · u) \$ und verwenden Sie das Grenzwertgesetz für $\ \frac{\sin u}{u} \$ als $\ u \rightarrow 0 \$ passend.
1 - Squeeze-Theorem? 2 - ist dir das Ding erlaubt $\frac{\sin(u)}{u}$ ? Ich denke, hier ist ein Ersatz zu machen
Ich mag die Aussage "Wir sehen, dass diese Funktion bei −2 nicht stetig ist (ein Loch hat)" wirklich nicht. Die Funktion ist bei nicht definiert $x=-2$ . Ich denke im Allgemeinen, dass es unangemessen ist, darüber zu sprechen, ob eine Funktion an einem Punkt, der nicht in ihrem Bereich liegt, stetig ist oder nicht. Zum Beispiel ist $\sqrt{x}$ kontinuierlich bei $-1$ ? Ich denke, ich könnte so oder so ein gutes Argument vorbringen, je nachdem, wie genau "Kontinuität" definiert wurde. Man kann nicht „einfach einstecken $-2$ ", weil die Funktion nicht definiert ist $-2$ , nicht weil die Funktion dort unstetig ist.

Sarvesh Ravichandran Iyer · Answer 1

Ich denke, der rechte Begriff explodiert, und der linke auch (weil $x\to -2$ , geht der Nenner zu $0$ aber der Zähler nicht). Die durchgeführte Zerlegung ist daher falsch. Jedoch,

Die Kernidee ist die $-\sin(\pi+x)= \sin x$ für alle $x$ . Dies ist ziemlich offensichtlich anhand der Additionsformel zu beweisen.

Insbesondere haben wir:

Sünde (\frac{π X}{2}) = - Sünde (\frac{π X}{2} + π) = - Sünde (\frac{π (X + 2)}{2})

$\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi x}{2} + \pi\right) = - \sin\left(\frac{\pi (x+2)}{2}\right)$

Jetzt haben wir den Vorteil, dass wir die nutzen können $\sin x \over x$ Regel nach einer Variablenänderung. Tatsächlich haben wir:

\frac{X + 2}{Sünde (\frac{π X}{2})} = - \frac{X + 2}{Sünde (\frac{π (X + 2)}{2})} = - \frac{2}{π} \frac{\frac{π (X + 2)}{2}}{Sünde (\frac{π (X + 2)}{2})}

$\frac{x+2}{\sin(\frac{\pi x}{2})} = -\frac{x+2}{\sin\left(\frac{\pi(x+2)}2\right)} = -\frac{2}{\pi} \frac{\frac{\pi(x+2)}{2}}{\sin \left(\frac{\pi(x+2)}{2}\right)}$

Lassen $y = \frac{\pi(x+2)}{2}$ . Dann als $x \to -2$ wir haben $y \to 0$ . Insbesondere,

lim_{X \to - 2} \frac{X + 2}{Sünde (\frac{π X}{2})} = lim_{j \to 0} - \frac{2}{π} \frac{j}{Sünde (j)} = - \frac{2}{π}

$\lim_{x \to -2} \frac{x+2}{\sin(\frac{\pi x}{2})} = \lim_{y \to 0} -\frac 2{\pi} \frac{y}{\sin(y)} = \boxed{-\frac{2}{\pi}}$

und dies kann auch leicht von Wolfram Alpha überprüft werden .

Hinweis: Danke an @lalala unten. Das erwähnen sie $\lim_{y\to 0}\frac{y}{\sin y} = 1$ kann durch L'Hopital nachgewiesen werden. Aber wir können es besser, und deshalb ist dies ein Standardergebnis.

Ich würde vorschlagen, auf dieser Seite nach einem geometrischen Beweis der Ungleichung zu suchen $1 < \frac{y}{\sin y} < \frac 1{\cos y}$ für alle $y \in (\frac{-\pi }{2} , \frac \pi 2)$ (Für $y$ negativ anzumerken $\sin y = -\sin (-y)$ hat das gleiche Vorzeichen wie $y$ sie heben sich also auf). Dann gilt der Squeeze-Theorem als $y \to 0$ Schlussfolgern.

@TheSenate Danke für das Feedback! Ich bin es gewohnt, detailliertere Antworten zu geben, aber in diesem Fall habe ich mich dagegen entschieden. Es werden fast alle Details angegeben, außer dass Sie dies nachweisen müssen $y \to 0$ Wenn $x \to -2$ , was aus limitbasierten Regeln folgt. Ich hoffe, dass Substitution anwendbar ist, ich sehe "Kontinuität" in den erlaubten Regeln, also sollte es ein Teil davon sein.
Ich denke, Sie sollten das letzte Gleichheitszeichen näher erläutern (wahrscheinlich verwenden Sie die Ableitung von sin is cos und inv-Funktion kontinuierlich).
@lalala Hey, danke für den Kommentar und Entschuldigung, dass ich es etwas spät gelesen habe. Ich hatte den Eindruck, dass das Ergebnis $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ ist ein Standardergebnis , das mit anderen Methoden als L'Hopital bewiesen wird (obwohl es, wie Sie erwähnt haben, leicht von L'Hopital bewiesen werden könnte). Das Ergebnis kann in einer Analysis-Klasse bewiesen werden, indem man das beweist $\cos x<\frac{\sin x}{x} < 1$ für $x \approx 0$ Verwenden von Flächen in einem Diagramm und Verwenden des Squeeze-Theorems. Wenn nicht, muss ich L'Hopital nehmen, also guter Fang.

einsamer Schüler · Answer 2

Wir haben,

\begin{aligned} lim_{X \to - 2} \frac{X + 2}{Sünde (\frac{π X}{2})} & = 2 lim_{u \to - π} \frac{\frac{π + u}{π}}{- Sünde (π + u)} \\ = - 2 lim_{u \to - π} \frac{\frac{1}{π}}{\frac{Sünde (π + u)}{π + u}} \\ = - \frac{2}{π} . \end{aligned}

$\begin{align}\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)} &=2\lim_{u \to -\pi} \frac{\frac{\pi +u}{\pi}}{-\sin (\pi +u)}\\ &=-2\lim_{u \to -\pi} \frac{\frac{1}{\pi}}{\frac{\sin (\pi +u)}{\pi +u}}\\ &=-\frac {2}{\pi}.\end{align}$

Benutzer · Answer 3

In diesen Fällen kann eine Änderung der Koordinaten helfen, insbesondere durch $y=x+2\to 0$ das verwenden $\sin (-\pi + \theta)=-\sin(\theta)$ und Standardgrenzen, die wir erhalten

lim_{X \to - 2} \frac{X + 2}{Sünde (\frac{π X}{2})} = lim_{j \to 0} \frac{j}{Sünde (- π + \frac{π j}{2})} = lim_{j \to 0} (- \frac{2}{π}) \cdot \frac{\frac{π}{2} j}{Sünde (\frac{π j}{2})} = - \frac{2}{π}

$\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)}=\lim_{y \to 0} \frac{y}{\sin\left(-\pi +\frac{\pi y}{2}\right)}=\lim_{y \to 0} \left(-\frac 2 \pi\right)\cdot \frac{\frac \pi 2y}{\sin\left( \frac{\pi y}{2}\right)}=-\frac 2 \pi$

Berechne limx→−2x+2sin(πx2)limx→−2x+2sin⁡(πx2)\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{\sin(\frac{\pi x}{2} )} mit Kontinuität (ohne L'Hospital)

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Lösung limx→0cos(π2cos(x))sin(sin(x2))limx→0cos⁡(π2cos⁡(x))sin⁡(sin⁡(x2))\lim_{x\to0}\frac{\cos\ left(\frac{\pi}{2\cos(x)}\right)}{\sin(\sin(x^2))}

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