Gilt dies unter dem ersten Differenzierungsprinzip?

Bis jetzt weiß ich, dass wir zum Finden der Ableitung einer Funktion f ( x ) unter Verwendung des ersten Differenzierungsprinzips Folgendes verwenden: - f ′ ( x ) = lim

Aber können wir das verwenden:- f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(xh)-f(x)}{h}

dh ersetze f(x+h) durch f(xh) ?

Bitte helfen Sie mir, die Antwort zu finden.

Versuchen Sie dies für f(x)=x . Was bekommst du?
Hallo @Mridul Kumar, wenn Sie die letztere Definition verwenden, würden Sie die Steigung des Diagramms von rechts nach links lesen (und nicht von links nach rechts für die frühere Definition) und erhalten -f '\ left (x \ right ) (negativ die übliche Ableitung).
@MatthewLeingang. Also müsste es f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(xh)-f(x)}{-h} sein, was du bekommst, wenn du Ersetzen Sie alle Vorkommen von h durch -h .
@stevengregory Du hast recht! Mein Vorschlag an OP war, ihre Vermutung an einem einfachen Beispiel zu testen. Ich hoffte, sie würden den Fehler sehen und die geringfügige Änderung, die erforderlich war, um ihn zu korrigieren.

Antworten (3)

Nehmen Sie die Substitution u=-h vor und beachten Sie, dass, wenn h sich 0 nähert , auch u sich 0 nähert : \begin{align} \lim_{h \to 0}\frac{f(xh)-f(x)}{h}& =\lim_{u \to 0}\frac{f(x+u)-f(x)}{-u} \\[5pt] &= \color{red}{-}\lim_{u \to 0 }\frac{f(x+u)-f(x)}{u} \\[5pt] &= \color{red}{-}f'(x) \, . \end{align}

f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(xh)-f(x)}{-h} Dies wegen einer einfachen Substitution m=-h in f ^ { \prime}(x)=\lim _{m \rightarrow 0} \frac{f(x+m)-f(x)}{m} nicht das, was Sie angeben, da wir durch Herausziehen des negativen Vorzeichens von -h erhalten \frac{f(xh) -f(x)}{h}\to -f'(x) wie in der anderen Antwort angegeben

\frac{f(xh) -f(x)}{h}\to -f'(x)

Gilt dies unter dem ersten Differenzierungsprinzip?
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