Lösung limx→0cos(π2cos(x))sin(sin(x2))limx→0cos⁡(π2cos⁡(x))sin⁡(sin⁡(x2))\lim_{x\to0}\frac{\cos\ left(\frac{\pi}{2\cos(x)}\right)}{\sin(\sin(x^2))}

Question

Lösung limx→0cos(π2cos(x))sin(sin(x2))limx→0cos⁡(π2cos⁡(x))sin⁡(sin⁡(x2))\lim_{x\to0}\frac{\cos\ left(\frac{\pi}{2\cos(x)}\right)}{\sin(\sin(x^2))}

Grenzen
Infinitesimalrechnung
Mathematik
grenzen-ohne-krankenhaus

Anonym

Ich wurde gebeten, das Limit zu lösen.
$lim_{X \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{2 \cos (X)})}{Sünde (Sünde (X^{2}))}$ $\lim_{x\to0}\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2\cos(x)}\right)}{\sin(\sin(x^2))}$

Hier ist mein Ansatz:

lim_{X \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{2 \cos (X)})}{Sünde (Sünde (X^{2}))}

$\lim_{x\to0}\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2\cos(x)}\right)}{\sin(\sin(x^2))}$

Unter Verwendung der Identität, $\cos(x) =\sin(90^{\circ} - x)$

\begin{aligned} ⟹ lim_{X \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{2 \cos (X)})}{Sünde (Sünde (X^{2}))} & = lim_{X \to 0} \frac{Sünde (\frac{π}{2} - \frac{π}{2 \cos (X)})}{Sünde (Sünde (X^{2}))} \\ = lim_{X \to 0} \frac{(\frac{π}{2} - \frac{π}{2 \cos (X)}) \cdot \frac{Sünde (\frac{π}{2} - \frac{π}{2 \cos (X)})}{(\frac{π}{2} - \frac{π}{2 \cos (X)})}}{Sünde (Sünde (X^{2}))} \\ = lim_{X \to 0} \frac{(\frac{π}{2} - \frac{π}{2 \cos (X)})}{Sünde (Sünde (X^{2}))} \cdot \underset{1}{\underset{⏟}{lim_{X \to 0} \frac{Sünde (\frac{π}{2} - \frac{π}{2 \cos (X)})}{(\frac{π}{2} - \frac{π}{2 \cos (X)})}}} \\ = \frac{lim_{X \to 0} \frac{π}{2} (\frac{\cos (X) - 1}{\cos (X)})}{\underset{1}{\underset{⏟}{lim_{X \to 0} \frac{Sünde (Sünde (X^{2}))}{Sünde (X^{2})}}} \cdot Sünde (X^{2})} \\ = \frac{lim_{X \to 0} \frac{π}{2} (\frac{\cos (X) - 1}{\cos (X)})}{\underset{1}{\underset{⏟}{lim_{X \to 0} \frac{Sünde (X^{2})}{X^{2}}}} \cdot X^{2}} \\ = lim_{X \to 0} \frac{π}{2 X^{2}} (\frac{\cos (X) - 1}{\cos (X)}) \end{aligned}

$\begin{aligned}\implies \lim_{x\to0}\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2\cos(x)}\right)}{\sin(\sin(x^2))} & = \lim_{x\to0}\frac{\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2\cos(x)}\right)}{\sin(\sin(x^2))} \\& = \lim_{x\to0}\dfrac{\left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{2\cos(x)}\right)\cdot\dfrac{\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2\cos(x)}\right)}{\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2\cos(x)}\right)}}{\sin(\sin(x^2))} \\ & = \lim_{x\to0}\dfrac{\left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{2\cos(x)}\right)}{\sin(\sin(x^2))}\cdot \underbrace{\lim_{x\to0}\dfrac{\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2\cos(x)}\right)}{\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2\cos(x)}\right)}}_{1} \\ & = \dfrac{\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\pi}{2}\left(\dfrac{\cos(x) - 1}{\cos(x)}\right)}{\underbrace{\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin(\sin(x^2))}{\sin(x^2)}}_1\cdot\sin(x^2)} \\ & =\dfrac{\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\pi}{2}\left(\dfrac{\cos(x) - 1}{\cos(x)}\right)}{\underbrace{\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin(x^2)}{x^2}}_1\cdot x^2} \\ & = \color{blue}{\boxed{\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\pi}{2x^2}\left(\dfrac{\cos(x) - 1}{\cos(x)}\right)}} \end{aligned}$

Jetzt kann ich mir nichts vorstellen, was mit diesem verpackten Teil zu tun hat. Kann jemand meine obige Methode überprüfen und mir sagen, was ich mit dieser Frage weiter tun soll? Jede andere kürzere Methode ist ebenfalls sehr willkommen!

Mikasa

+1 nur für die Eingabe des Körpers!

Atmosphäre

Kennen Sie Taylor-Erweiterungen?

Benutzer983440

@Atmos Ich weiß, aber nicht viel.

Antworten (4)

Lösung limx→0cos(π2cos(x))sin(sin(x2))limx→0cos⁡(π2cos⁡(x))sin⁡(sin⁡(x2))\lim_{x\to0}\frac{\cos\ left(\frac{\pi}{2\cos(x)}\right)}{\sin(\sin(x^2))}

gt6989b · Answer 1

\frac{\cos X - 1}{X^{2}} = \frac{\cos X - 1}{X^{2}} \times \frac{\cos X + 1}{\cos X + 1} = \frac{\cos^{2} X - 1}{X^{2} (\cos X + 1)} = \frac{- {Sünde}^{2} X}{X^{2}} \times \frac{1}{\cos X + 1}

$\frac{\cos x - 1}{x^2} = \frac{\cos x - 1}{x^2} \times \frac{\cos x + 1}{\cos x + 1} = \frac{\cos^2 x - 1}{x^2(\cos x + 1)} = \frac{-\sin^2 x}{x^2} \times \frac{1}{\cos x + 1}$ und der linke Bruch kann da berechnet werden

\sin (x) / x \to 1

$\sin(x)/x \to 1$ ...

Ei · Answer 2

Du hast $\sin(x^2)=x^2+o(x^2)$ und damit auch

Sünde (Sünde (X^{2})) = X^{2} + Ö (X^{2})

$\sin(\sin(x^2))=x^2+o(x^2)$ Sie benötigen also die Taylorentwicklung von

\cos (\frac{π}{2 \cos X})

$\cos\Bigl(\frac{\pi}{2\cos x}\Bigr)$ bis zum Abschluss

2

$2$ . In Betracht ziehen

f (x) = 1 / \cos x

$f(x)=1/\cos x$ . Dann

f (0) = 1

$f(0)=1$ Und

F^{'} (X) = \frac{Sünde X}{\cos^{2} X}, F^{'} (0) = 0

$f'(x)=\frac{\sin x}{\cos^2x},\qquad f'(0)=0$ Und

F^{″} (X) = \frac{\cos^{3} X + 2 {Sünde}^{2} X \cos X}{\cos^{4} X} = \frac{\cos^{2} X + 2 {Sünde}^{2} X}{\cos^{3} X}, F^{″} (0) = 1

$f''(x)=\frac{\cos^3x+2\sin^2x\cos x}{\cos^4x}=\frac{\cos^2x+2\sin^2x}{\cos^3x},\qquad f''(0)=1$ Somit

\frac{π}{2 \cos X} = \frac{π}{2} + \frac{π}{4} X^{2} + Ö (X^{2})

$\frac{\pi}{2\cos x}=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}x^2+o(x^2)$ und deshalb

\cos (\frac{π}{2 \cos X}) = \cos (\frac{π}{2} + \frac{π}{4} X^{2} + Ö (X^{2})) = - Sünde (\frac{π}{4} X^{2} + Ö (X^{2})) = - \frac{π}{4} X^{2} + Ö (X^{2})

$\cos\Bigl(\frac{\pi}{2\cos x}\Bigr)= \cos\Bigl(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}x^2+o(x^2)\Bigr)=-\sin\Bigl(\frac{\pi}{4}x^2+o(x^2)\Bigr)=-\frac{\pi}{4}x^2+o(x^2)$ und deine Grenze ist

lim_{X \to 0} \frac{- π X^{2} / 4 + Ö (X^{2})}{X^{2} + Ö (X^{2})} = - \frac{π}{4}

$\lim_{x\to0}\frac{-\pi x^2/4+o(x^2)}{x^2+o(x^2)}=-\frac{\pi}{4}$

Benutzer983440 · Answer 3

Ich habe einen anderen Weg gefunden, um das endgültige Box-Limit zu berechnen.

\begin{aligned} lim_{X \to 0} \frac{π}{2 X^{2}} \cdot \frac{\cos (X) - 1}{\cos (X)} \\ = & lim_{X \to 0} \frac{- (1 - \cos (X))}{X^{2}} \cdot \frac{π}{2 \cos (X)} \end{aligned}

$\begin{aligned}&\lim_{x\to0} \frac{\pi}{2x^2}\cdot\frac{\cos(x)-1}{\cos(x)}\\=&\lim_{x\to0}\frac{-(1-\cos(x))}{x^2}\cdot\frac{\pi}{2\cos(x)}\end{aligned}$

Das Limit $\boxed{\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos(x)}{x^2} = \dfrac12}$

\begin{aligned} ⟹ & lim_{X \to 0} \frac{- (1 - \cos (X))}{X^{2}} \cdot \frac{π}{2 \cos (X)} = lim_{X \to 0} \frac{- 1}{2} \cdot \frac{π}{2 \cos (X)} \\ = & \frac{- π}{4 \cos (0)} = \frac{- π}{4} \end{aligned}

$\begin{aligned}\implies& \lim_{x\to0}\frac{-(1-\cos(x))}{x^2}\cdot\frac{\pi}{2\cos(x)} = \lim_{x\to0}\frac{-1}{2}\cdot\frac{\pi}{2\cos(x)}\\=&\frac{-\pi}{4\cos(0)} = \frac{-\pi}{4}\end{aligned}$

Die Grenze ist also $-\pi/4$ .

Atmosphäre · Answer 4

\cos (X) - 1 \underset{(0)}{=} - \frac{X^{2}}{2} + Ö (X^{3})

$\cos\left(x\right)-1 \underset{(0)}{=}-\frac{x^2}{2}+o\left(x^3\right)$ Daher kombiniert mit dem, was Sie getan haben

\frac{\cos (\frac{π}{2 \cos (X)})}{Sünde (Sünde (X^{2}))} \underset{(0)}{\sim} \frac{π}{2 X^{2}} (- \frac{X^{2}}{2}) = - \frac{π}{4}

$\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2\cos(x)}\right)}{\sin(\sin(x^2))} \underset{(0)}{\sim}\frac{\pi}{2x^2}\left(-\frac{x^2}{2}\right) = -\frac{\pi}{4}$

Danke für die Antwort, aber ich kann einige der von Ihnen in der Lösung verwendeten Symbole nicht wirklich verstehen.
Die (0) unter der ersten Gleichung ist ein Label. Dann zeigt die zweite (0) an, dass das OP die Gleichung mit der Bezeichnung (0) in diesem Schritt verwendet hat. Und das Kleine $o(x^3)$ ist die Little-Oh-Notation, die Terme anzeigt, die mindestens so schnell gegen Null gehen wie $x^3$
$\sim$ bedeutet nur, dass das Verhältnis der beiden Ausdrücke zu tendiert $1$ als $x$ tendiert zu der Zahl direkt darunter (hier $0$ )

Lösung limx→0cos(π2cos(x))sin(sin(x2))limx→0cos⁡(π2cos⁡(x))sin⁡(sin⁡(x2))\lim_{x\to0}\frac{\cos\ left(\frac{\pi}{2\cos(x)}\right)}{\sin(\sin(x^2))}

Anonym

Mikasa

Atmosphäre

Benutzer983440

Antworten (4)

gt6989b

Ei

Mikasa

Benutzer983440

Atmosphäre

Benutzer983440

Benjamin Wang

Atmosphäre

Berechne limx→−2x+2sin(πx2)limx→−2x+2sin⁡(πx2)\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{\sin(\frac{\pi x}{2} )} mit Kontinuität (ohne L'Hospital)

Wie kann man beweisen, dass limx→0sinxx=1limx→0sin⁡xx=1\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}x=1?

Wie kann man diese Grenze lösen, ohne die L'Hopitale-Regel anzuwenden?

Gilt dies unter dem ersten Differenzierungsprinzip?

Finden der Ableitung einer Funktion mit Grundprinzipien

Wie berechnet man den Wert einer multivariablen Grenze?

Eine Grenzwertberechnung unter Verwendung des Riemann-Integrals

Zeigen Sie, dass die Folge nach unten beschränkt ist durch 2–√2{\sqrt 2}

Ableitung mit Grenzwertdefinition berechnen

Was ist limk→0f(k)=2+k32cos1k2limk→0f(k)=2+k32cos⁡1k2\lim\limits_{k \to 0}{f(k) = 2 + k^{\frac{3}{ 2}}\cos {\frac{1}{k^2}}}