Wie berechnet man den Wert einer multivariablen Grenze?

Ich glaube nicht, dass es einen besonders allgemeinen Ansatz gibt, der immer funktioniert. Es gibt eine gute Anzahl von Tricks. Ich werde die besprechen$(x, y) \to (0, 0)$Fall der Einfachheit halber.

1. Fix$m$, Ersatz$y=mx$, und lass$x \to 0$. Wenn das Ergebnis davon abhängt$m$, die Grenze existiert nicht. Dies ist oft eine schnelle Methode, um festzustellen, ob eine Grenze "offensichtlich" nicht existiert, aber es kann nicht beweisen, dass die Grenze existiert.

   Beispiel :$\lim_{(x, y) \to 0} \frac{xy}{x^2 + y^2}$existiert seitdem nicht mehr$\lim_{x \to 0} \frac{x(mx)}{x^2 + (mx)^2} = \frac{m}{1+m^2}$kommt drauf an$m$.

2. Polar: Ersatz$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$und lass$r \to 0$. Wenn das Ergebnis das gleiche ist, egal was$\theta$tut, die Grenze existiert und ist dieser Wert. Andernfalls existiert die Grenze nicht. Dieser Ansatz wird oft Einblick geben, auch wenn es nicht sofort funktioniert.

   Beispiel :$\lim_{(x, y) \to 0} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2} = 0$seit$\lim_{r \to 0} \frac{r^3\cos^2\theta\sin\theta}{r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta} = lim_{r \to 0} r (\cos^2\theta\sin\theta) = 0$.

3. Serienerweiterungen. Die Regel von L'Hopital ist im Grunde ein Beispiel für diese Philosophie, daher werde ich kein Beispiel aufschreiben. Während die Regel von L'Hopital ein Phänomen mit einer Variablen ist, könnten Sie immer noch eine Taylor-Entwicklung mit mehreren Variablen versuchen. In der Praxis habe ich das persönlich noch nicht erlebt.

4. Inspirierte Substitutionen. Dies erfordert "Einsicht", was auch immer das bedeutet. Oft ist die Idee so etwas wie: „Nun, wenn$x$waren wirklich sehr klein im Vergleich zu$y$, aber nicht zu klein, dann würde dieser Term dominieren und der Quotient wäre im Grunde 1, also..."

   Beispiel :$\lim_{(x, y) \to 0} \frac{x^3 y}{x^6 + y^2}$existiert nicht seit wann$y=mx^3$, wir haben$\lim_{x \to 0} \frac{x^3 (mx^3)}{x^6 + (mx^3)^2} = \lim_{x \to 0} \frac{m}{1+m^2}$kommt drauf an$m$.

Ich glaube nicht, dass es eine Regel gibt, die für alle multivariablen Grenzen gilt. Im Allgemeinen sucht man an diesem Punkt nach Kontinuität, und wenn dies nicht gelingt, werden verschiedene Techniken angewendet, bis etwas hängen bleibt (z. B. Polarkoordinaten, Ausprobieren vieler verschiedener Pfade und dann Verallgemeinern und Taylor-Reihen).

Dies ist ein guter Thread, der verschiedene Möglichkeiten zur Herangehensweise an solche Probleme beschreibt. Hoffentlich hilft er ein wenig!

Gibt es eine Schritt-für-Schritt-Checkliste, um zu überprüfen, ob ein Grenzwert für mehrere Variablen existiert, und seinen Wert zu finden?

Wenn Sie herausfinden möchten, wo die Grenze liegt, um dies zu beweisen, würde ich mehrere Pfade ausprobieren, und wenn alle Pfade zum selben Punkt führen, würde ich davon ausgehen, dass dies das Ergebnis ist, das ich zu beweisen versuche. 3D-Grafikrechner können dabei helfen!!