Epsilon-Delta-Definition eines Derivats

Die Ableitung an einem bestimmten Punkt C wird als Grenze dargestellt durch:

F ' ( C ) = lim X → C F ( X ) − F ( C ) X − C

Es ist mir klar, dass die Epsilon-Delta-Definition einer Ableitung an einem Punkt ist C wäre:

∀ ϵ > 0   ∃ δ > 0 ∀ X : 0 < | X − C | < δ → | F ( X ) − F ( C ) X − C − L | < ϵ

Was mir unklar ist, ist, wie man die Ableitung formal als Funktion von darstellt X , anstatt nur auf den Punkt C . Wie würden wir diese Grenze im Grunde formal darstellen (die Δ X ist der Teil, der mich zum Stolpern bringt):

F ' ( X ) = lim Δ X → 0 F ( X + Δ X ) − F ( X ) Δ X

Antworten (2)

Du kennst die Definition von Limit, oder? Also einfach anwenden. Wir können argumentieren, dass, wenn die Ableitung bei X Ist L , Dann

∀ ϵ > 0   ∃ δ > 0 ∀ Δ X : 0 < | Δ X | < δ ⟹ | F ( X + Δ X ) − F ( X ) Δ X − L | < ϵ
Auch die Ableitung als Funktion, F ' ( X ) ist einfach eine Funktion, die einen Punkt einnimmt und die Ableitung von ausspuckt F an diesem Punkt. Sie können also auch die Definition einer Ableitung an einem Punkt definieren C und sammeln Sie alle diese Derivate unter einer Funktion.

Ok danke .. und Delta x repräsentiert nur eine Entfernung von dem Punkt, den wir in Betracht ziehen
@bgcode ja, das kann man sagen. Oder Sie können das auch sagen Δ X ist nur eine (kleine) reelle Zahl - im Kontext von R , beide sind gleich, spielt keine Rolle!
Dies scheint mir doppelt mangelhaft zu sein: (a) Die ∀ X ist falsch, sollte es sein ∀ Δ X ; (b) Das ergibt die Bedingung F ' ( X ) = 0 , Sie müssen eine richtige schreiben ϵ - δ Definition des Satzes „ F ist differenzierbar bei X mit Ableitung L "
@ancientmathematician hat es korrigiert. Danke für den Hinweis. Ich muss geträumt haben, als ich das geschrieben habe :|
Sayan: Vielleicht möchten Sie hinzufügen ∀ Δ X Dann?
@bgcode erledigt
streng genommen sollte es so sein 0 < | Δ X | < δ .
@peek-a-boo jetzt gut?
Sollte L(x) sein, nein? Andernfalls vergleichen Sie eine Variable mit einer Funktion.

Sie können die letzte Formel schreiben als:

F ' ( C ) = lim Δ X → 0 F ( C + Δ X ) − F ( C ) C + Δ X − C

Die letzte Formel erscheint beim Betrachten intuitiver F ' als Funktion und nicht bei F ' ( X ) , das ist der Wert des Derivats bei X . Tatsächlich hängt der Grenzwert der Variablen nicht vom Punkt ab (dh wir haben Δ X → 0 und nicht X → C ).

Formell, wenn man eine schreiben müsste ε − δ Beweis einer Formel für eine Ableitung, zum Beispiel wenn F ( X ) = X N , Dann F ' ( X ) = N X N − 1 , müssen Sie es unabhängig für jeden nachweisen X . Sie können Ihren Beweis also mit "let" beginnen X ∈ R , dann ...". Aber sobald diese Formel bewiesen ist, dann können Sie leicht die Ableitung jedes Polynoms berechnen.

Notiz

Ich bin mir nicht sicher, ob ich Ihr Missverständnis gut erkannt habe, also habe ich eine ziemlich allgemeine Antwort gegeben. Ich hoffe es hilft trotzdem.

Danke, ich denke, mein Missverständnis war bzgl Δ X und denken, es könnte sich ändern, wenn wir Epsilon-Delta verwenden. Ihnen beiden Upvotes geben
Freut mich zu hören, dass wir damals nützlich waren. ;)
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