Warum kann Epsilon nicht stattdessen von Delta abhängen?

Ich denke, es geht eher darum, die Sprache zu präzisieren und jegliche Verwirrung zu beseitigen. Sie haben Recht, dass eine informelle Bedeutung von$\lim_{x \to a}f(x) = L$ist das, wenn die Werte von$x$sind nah$a$dann Werte von$f(x)$sind nah$L$.

Wie präzisieren wir diese Aussage? Wir tun dies, indem wir das Wort „nahe“ quantifizieren . Also die Nähe von$x$mit$a$wird nach Nummer verwaltet$\delta$und Nähe von$f(x)$mit$L$wird gemessen an$\epsilon$. Wir hätten beliebige Symbole sagen können$A$Und$B$anstatt$\epsilon,\delta$aber die Auswahl griechischer Symbole verleiht Ihnen einen Hauch von Uber-Ness / Geekiness / Nerdness. Mathematiker wollen also dafür sorgen, dass dieses Konzept nicht auf die leichte Schulter genommen wird.

Nun, wie wir bereits gesagt haben, wollen wir sicherstellen, dass wann$x$liegt in der Nähe$a$Dann$f(x)$sollte in der Nähe sein$L$. Das ist, als wollten Eltern, dass ihr Kind hart lernt, um gute Noten zu bekommen. Je härter das Kind lernt, desto besser sind die Noten. Nun sollte jedem klar sein, dass es hier um „gute Noten“ und „nicht nur fleißiges Lernen“ geht.

Im Falle von Limits ist es also das eigentliche Ziel, dies sicherzustellen$f(x)$nahe kommt$L$. Der Teil des Erhaltens$x$nahe bei$a$ist nur Mittel zum Zweck. Daher müssen wir eine Schranke angeben$\epsilon$für$|f(x) - L|$und dann bestimmen$\delta$so dass$|x - a| < \delta$würde ausreichen, um das Ziel zu gewährleisten. Wenn das Ziel fehlschlägt (z. B. für einige$\epsilon$Wir sind nicht in der Lage, eine entsprechende zu erhalten$\delta$) das sagen wir$L$ist nicht die Grenze von$f(x)$als$x \to a$.

Ich sollte auch auf den Fehler mit Ihrer Argumentation hinweisen. Angenommen, Sie fordern mich mit a heraus$\delta$und bitte mich, mir ein auszudenken$\epsilon$so dass$|f(x) - L| < \epsilon$wann immer$0 < |x - a| < \delta$. Dann haben Sie meine Aufgabe so viel einfacher gemacht und ich werde die Herausforderung immer gewinnen, indem ich einen sehr hohen Wert von wähle$\epsilon$. Weil Sie mir die volle Hebelwirkung auf das Ziel gegeben haben und ich mich dafür entscheiden kann, das Ziel mit großem Abstand zu verfehlen (großer Wert von$\epsilon$), während Sie sich immer mehr anstrengen (kleinere wählen$\delta$für die Herausforderung). Ich hoffe, Sie können diese Logik verstehen, warum ich diese Herausforderung die ganze Zeit gewinnen würde, wenn wir das Spiel nach Ihren Regeln spielen würden.

Betrachten Sie das Gegenbeispiel

$$f(x) = \begin{cases} \sin \frac{1}{x}, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$$ und die Grenze $$L = \lim_{x \to 0} f(x).$$ Also lassen $a = 0$. Unter Ihrer Charakterisierung, gegeben irgendwelche $\delta > 0$, können wir trivial finden $\epsilon > 0$so dass $|f(x) - L| < \epsilon$wann immer $|x| < \delta$. Zum Beispiel einstellen $\epsilon = 2$; dann frei wählbar $L \in (-1,1)$wird diese "umgekehrte" Situation erfüllen, obwohl es keine tatsächliche Grenze gibt. Aus diesem Grund müssen wir für die richtige Definition auswählen $\epsilon$Erstens, weil das die Größe ist, um die sich der Wert der Funktion und ihr Grenzwert unterscheiden $L$muss beliebig klein gemacht werden können. Sprich, dass Sie frei wählen können, wie klein eine Nachbarschaft ist $x$-Werte nach Belieben (was wir tun, wenn wir uns dafür entscheiden $\delta$) garantiert nicht, dass die Werte der Funktion in dieser Nachbarschaft immer enger um einen Grenzpunkt herum begrenzt werden.

Ich denke, die sequentielle Formulierung kommt dem informellen Konzept der Kontinuität näher als die$\epsilon$-$\delta$Formulierung. (Dies ist wirklich eine sprachliche Umformulierung und keine mathematische).

Das informelle Konzept der Kontinuität ist so etwas wie „Wenn wir ein paar Punkte nehmen$P$immer näher kommen$x$, dann die Werte$f(P)$immer näher kommen$f(x)$."

Sobald wir einen Begriff der konvergenten Folge haben, können wir dies formalisieren als „Wenn$x_n \to x$, Dann$f(x_n) \to f(x)$."

Wir müssen also definieren, was es bedeutet zu sagen$y_n \to y$Wo$y_n$ist eine Folge und$y$eine reelle Zahl ist (wir verwenden diese Definition von$\to$zweimal, um unsere Definition von Kontinuität zu machen: einmal mit$y_n = x_n, y = x$und einmal mit$y_n = f(x_n), y_n = f(x)$.)

Die informelle Idee ist „als$n$wird groß, die$y_n$immer näher kommen$y$." Wir definieren "immer näher" genau dadurch, dass wir dies für jede gewünschte Grenze fordern$\epsilon$, hat man$|y_n - y| < \epsilon$für$y_n$weit genug in der Reihenfolge: das heißt, man definiert

$$y_n \to y:= \forall \epsilon > 0, \exists N \text{ s.t. } \forall n > N, |y_n - y| < \epsilon.$$

Jetzt können Sie überprüfen, ob die obige Definition von Stetigkeit mit dieser übereinstimmt.