Was ist, wenn ϵϵ\epsilon in der ϵϵ\epsilon-δδ\delta-Definition von Grenzen unendlich ist?

Die Epsilon-Delta-Definition von Grenzen besagt, dass wenn die Grenze wie X → A von F ( X ) L ist, dann für alle δ > 0 , Da ist ein ϵ > 0 so dass wenn 0 < | X − A | < δ , Dann | F ( X ) − L | < ϵ .

Aber das Problem ist, dass diese Definition sehr allgemein sagt, dass für ALLE δ , es gibt einige ϵ . Also was, wenn ich immer wähle ϵ = ∞ ? Dann ist garantiert, dass der Abstand zw F ( X ) Und L ist weniger als ϵ , und als Bonus L kann buchstäblich alles sein, was bedeutet, dass das Limit ein beliebiger Wert sein kann. Was natürlich absurd ist. Was fehlt mir hier?

Außerdem sagen die meisten Leute, dass diese Definition uns das intuitiv sagt F ( X ) kann so nah sein L wie du willst, denn wenn δ kleiner und kleiner wird und sich Null nähert, dann wird Epsilon immer kleiner und nähert sich ebenfalls Null. Aber das kann nicht stimmen, denn ϵ ist keine Funktion von δ oder so, also kann man nicht sagen, dass, wenn einer sich 0 nähert, der andere es auch tun wird.

Bearbeiten: Ich habe das Gefühl, dass das Problem mit der Tatsache zu tun hat, dass Leute normalerweise, wenn sie diese Definition verwenden, um Grenzwertprobleme zu lösen, einen Ausdruck für Epsilon als Funktion von Delta erhalten (wie ich oben schreibe) und diesen Ausdruck verwenden. Sie stellen normalerweise fest, dass, wenn Delta auf Null geht, auch Epsilon auf Null geht. Wenn in der Definition selbst davon ausgegangen würde, dass dies IMMER der Fall sein sollte, dann würde die Definition für mich absolut Sinn machen, aber es scheint mir nicht so zu sein. Wenn jemand dazu etwas sagen könnte, würde ich mich sehr freuen.

Warum nicht? Nichts in der Definition sagt das aus
Weil ∞ ist keine reelle Zahl. Arbeiten mit Grenzen, das werden Sie oft sehen ∞ im selben Kontext wie eine Zahl, aber diese Fälle haben ihre eigenen separaten Definitionen.
Auch deine Definition ist einfach falsch. Es ist "für alle epsilon gibt es delta, so dass ..." und nicht "für alle delta gibt es epsilon, so dass ...".
In Ordnung, aber meine Logik funktioniert, selbst wenn Epsilon sehr, sehr groß ist
Du hast die Definition falsch. lim X → A F ( X ) = L bedeutet das für alle ϵ > 0 , es existiert ein δ > 0 so dass wenn 0 < | X − A | < δ , Dann | F ( X ) − L | < ϵ . Du kannst nicht wählen ϵ , du musst ein finden δ das funktioniert für eine bestimmte ϵ , und Sie müssen dies für jeden tun ϵ > 0 , egal wie klein.
Leander, was ist der Unterschied? Sagt es nicht im Grunde dasselbe?
Bungo, dann wähle Delta ist unendlich (oder eine sehr, sehr große Zahl), und es gibt immer noch ein Problem
oder*, nicht ør....
Im Allgemeinen wählen δ = ∞ würde nicht funktionieren. Betrachten Sie ein einfaches Beispiel, sagen wir F ( X ) = X 2 , wo wir das zeigen wollen lim X → 0 X 2 = 0 . Angenommen, ich gebe Ihnen ϵ = 1 . Es stimmt sicher nicht, dass jeder X erfüllt | X 2 − 0 | < 1 , Rechts? Tatsächlich müssen wir haben | X | < 1 damit die vorherige Ungleichung erfüllt ist, daher δ muss sein ≤ 1 .
Nein, aber wenn Delta sehr groß ist, dann ist es fast garantiert, dass abs(x-0)<Delta für jedes x ist (und es ist tatsächlich wahr, wenn Delta unendlich ist).
Ja, aber Ihr Ziel ist es nicht, es zu erreichen 0 < | X − 0 | < δ , es ist ein zu finden δ so dass wenn 0 < | X − 0 | < δ , dann | X 2 − 0 | < ϵ . Im Allgemeinen, je kleiner Sie machen ϵ , der Kleinere δ muss sein, damit die Implikation gilt.
Unabhängig davon, was das entsprechende x für ein f(x) ist, ist garantiert, dass abs(xa)<delta=unendlich, und daher scheint die Definition immer zu funktionieren.
Probieren Sie Ihre Gedanken an einem einfachen konkreten Beispiel aus F ( X ) = 2 X , und sehen, wie es sich entwickelt.
Robert, ja, ich verstehe, wie das gemacht wird, aber wann immer es in der Praxis verwendet wird, machen die Leute einen Ausdruck für Epsilon in Bezug auf Delta (also ist Epsilon eine Funktion von Delta), aber für mich scheint es, dass Sie das nicht annehmen können Sie können das immer tun, da nichts in der Definition besagt, dass sie Funktionen voneinander sind.
@FelisSuper, du pflückst nicht δ zu machen | X − A | < δ WAHR. Sie wollen | X − A | < δ so oft wie möglich falsch sein , weil dann die Implikation | X − A | < δ → | F ( X ) − L | < ϵ stimmt so oft wie möglich. Wenn Sie versuchen, das zu beweisen F kontinuierlich ist, sollten Sie eine sehr kleine auswählen δ -- niemals ∞ .
Sie haben Recht, dass in der Definition nichts steht, was macht ϵ eine Funktion von δ oder umgekehrt. Aber für einen Beweis müssen Sie das auf jeden Fall zeigen ϵ Ich werfe dich an, es gibt immer einen δ mit der gewünschten Eigenschaft. Normalerweise tun Sie dies, indem Sie ein zuverlässiges Verfahren vorstellen, das immer ein geeignetes Ergebnis liefert δ . Die Technik, die Sie oft sehen, wenn Leute einen Ausdruck schreiben, der eine Funktion von ist δ ist lediglich ein Schritt in der Ableitung und dem Beweis eines solchen Verfahrens. Es ist nicht Teil des Verfahrens selbst.

Antworten (2)

Sie scheinen die Definition in Ihrem ersten Satz rückwärts zu haben.

∀ ϵ > 0 ∃ δ > 0 . . .

Auf deutsch: für alle ϵ > 0 es existiert δ > 0 ...

Eine intuitive Art, darüber nachzudenken, ist ein Spiel. Wenn ich das Limit beanspruche, können Sie mich mit jeder gewünschten Genauigkeit herausfordern, positiv ϵ , und ich muss in der Lage sein, positiv zu antworten δ das erreicht es. ϵ Und δ Zahlen müssen so sein ∞ ist implizit ausgeschlossen. Wie auch immer, sogar wir haben es erlaubt ∞ mit offensichtlich naiven Regeln und du hast mich herausgefordert, nach innen zu kommen ϵ = ∞ meiner beanspruchten Grenze wäre es dann für mich leicht zu erreichen. Es würde nichts ändern.

Grenzen sind ein Bereich, in dem Sie das Symbol sehen ∞ häufig und es kann leicht der Eindruck entstehen, dass es als Nummer behandelt wird. Es ist nicht, es ist nur eine anregende Notation für eine separate Definition. Die Definitionen der Grenzen, wenn X → ∞ unterscheidet sich von X → A .

Einige extra auf Anmerkungen basierende Anmerkungen, die ich allerdings in der Lage sein muss, ein passendes zu liefern δ für alle ϵ die du mir gibst, es muss keineswegs die beste oder optimale sein. Angenommen, ich behaupte das X 2 → 0 als X → 0 . In gewisser Weise das Beste δ Ist ϵ was nur gerade den Job macht, aber ich könnte nur antworten 1 wenn dein ϵ Ist > 1 und dir deine eigenen geben δ zurück, wenn es ist < 1 . Das wäre mehr als gut genug, aber das ist okay.

Einige mehr basierend auf bearbeiteten Fragen. Es geht wieder rückwärts: δ ist eine Funktion von ϵ nicht umgekehrt. ϵ ist die gewünschte Genauigkeit und δ wie nah man heran muss, um das zu erreichen.

Ja, im Allgemeinen, wie ϵ kleiner werden, so wird δ . Das scheint mir ziemlich intuitiv zu sein: Wenn Sie in meinem Spiel herausfordern, näher an mein beanspruchtes Limit zu kommen, muss ich näher an den Limit-Punkt herankommen.

Es ist nicht immer wahr, aber die Ausnahmen sind nicht interessant. Betrachten Sie die Funktion F ( X ) = 1 , eine konstante Funktion. Das behaupte ich F ( X ) → 1 als X → 0 . Jetzt für was auch immer ϵ Sie geben mir, ich kann nur antworten 1 oder googleplex, wenn mich das amüsiert.

In Ordnung, aber sagen wir, ich war hinterhältig und habe eine Funktion erstellt, bei der es passiert, dass die Definition funktioniert, wenn Delta = 1/Epsilon. Wenn dann Delta kleiner wird, wird Epsilon GRÖSSER, nicht kleiner, wie die meisten Leute annehmen (lesen Sie meinen letzten Absatz).
@FelisSuper Geben Sie ein konkretes Beispiel für eine solche Funktion, spekulieren Sie nicht.
Zeigen Sie uns diese Funktion und wir werden darüber nachdenken. Betrachten Sie mein vorgeschlagenes Spiel. Wenn Sie mir bei Ihrer zweiten Herausforderung eine größere geben ϵ dann kann ich meine Antwort einfach wiederholen. Ich muss nicht die optimale (in irgendeiner Weise) Antwort geben, nur irgendeine δ das macht den Job. Es kann besser sein als nötig.
Ich habe meiner ursprünglichen Frage einen zusätzlichen Absatz hinzugefügt, vielleicht kann jemand einige Gedanken dazu teilen.
badjohn, ja, für die meisten Funktionen, die ich mir vorstellen kann, macht es für mich Sinn, dass wenn Epsilon auf 0 geht, Delta auch auf 0 geht. Es gibt nur so viele verrückte Funktionen, und es würde mich nicht überraschen, wenn es eine gäbe, bei der das nicht stimmt. Also meine Frage ist im Grunde, gibt es eine solche Funktion?
Wenn Sie möchten, dass die Grenze vorhanden ist, aber δ muss nicht gehen 0 als ϵ Dann muss die Funktion für einen Bereich um den Grenzpunkt herum konstant sein.
@FelisSuper: Ich denke, du verstehst das Problem nicht groß δ . Mit einem großen δ erhöht den Wertebereich wesentlich X In | X − A | < δ und daher müssen wir die Zielungleichheit sicherstellen | F ( X ) − L | < ϵ für einen größeren Wertebereich von X . Wenn Sie also wirklich das Limit-Spiel gewinnen wollen, müssen Sie klein wählen δ . Andererseits wenn ϵ gegeben ist, um eine große Anzahl zu sein, dann macht es Ihre Aufgabe zu wählen δ viel einfacher.

Also was, wenn ich immer wähle ϵ = ∞ ? Dann ist garantiert, dass der Abstand zw  F ( X )  Und  L  ist weniger als  ϵ , und als Bonus  L  kann buchstäblich alles sein, was bedeutet, dass das Limit ein beliebiger Wert sein kann. Was natürlich absurd ist. Was fehlt mir hier?

Der erste Teil Ihrer Aussage ist richtig. Das Problem ist kursiv geschrieben. Wenn Ihre Toleranz unendlich groß ist, können wir eine beliebige Zahl wählen, die sich der festgelegten Grenze annähert L mit ausreichender Genauigkeit. Hier gibt es nichts zu sagen L kann alles sein, in dem Sinne, wie wir das gesagt haben F hat eine Grenze. Das Symbol L ist nur willkürlich in dem Sinne, dass wir allgemein für irgendetwas sprechen L . Dies gilt jedoch auch dann, wenn ϵ ≠ ∞ .

Hoffe das hilft.

Was ist, wenn ϵϵ\epsilon in der ϵϵ\epsilon-δδ\delta-Definition von Grenzen unendlich ist?
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