Finden der Grenze anhand des Beispiels ihrer Epsilon-Delta-Definition

Question

Finden der Grenze anhand des Beispiels ihrer Epsilon-Delta-Definition

Grenzen
Infinitesimalrechnung
Mathematik
Epsilon-Delta

Ziyad Edher

Nehmen wir an, wir haben eine Funktion $f$ definiert auf einem Intervall zentriert $a \in \mathbb{R}$ , Und $x \in \mathbb{R}$ .

Wenn wir das wissen

| X - A | < δ ⟹ | F (X) - L^{'} | < ε

$|x - a| < \delta \implies |f(x) - L'| < \varepsilon$ Wo

L^{'} \in R

$L' \in \mathbb{R}$ Und

δ, ε > 0

$\delta, \varepsilon > 0$ sind nur zwei beliebige Zufallszahlen (keine vollständige Definition).

Ich denke, dass wir das vernünftigerweise nicht ableiten können

lim_{X \to A} F (X) = L^{'}

$\lim_{x \to a} f(x) = L'$ weil die Definition der Grenze besagt, dass es für jedes Epsilon ein Delta gibt, wobei wir hier nur den Fall von Epsilons annehmen, die größer oder gleich dem von uns gewählten Wert von Epsilon sind.

Aber was können wir dazu sagen $L'$ in Bezug auf das Tatsächliche $\lim_{x \to a} f(x)$ ?

EDIT : Vergessen hinzuzufügen, dass wir das wissen $\lim_{x \to a} f(x)$ existiert.

Auf den ersten Blick sieht es so aus, als ob das tatsächliche Limit alles in diesem Bereich sein könnte $[L' - \varepsilon, L' + \varepsilon]$ , aber das kann ich mathematisch nicht schlussfolgern.

Antworten (2)

Finden der Grenze anhand des Beispiels ihrer Epsilon-Delta-Definition

MenschStampedist · Answer 1

Die Grenze muss gar nicht existieren. Zum Beispiel

F (X) = {\begin{array}{cc} Sünde \frac{1}{X}, & X \neq 0 \\ 0, & X = 0 \end{array}

$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sin\frac{1}{x},& x\neq 0\\ 0,& x=0\end{array}\right.$ Dann wähle

L^{'} = 0

$L'=0$ ,

a = 0

$a=0$ ,

ε = 1.1

$\varepsilon=1.1$ Und

δ = 1

$\delta=1$ .

Bearbeiten : Wenn das Limit existiert, haben wir $|\lim_{x\rightarrow a}f(x)-L'|\leq \varepsilon$ . Lassen Sie mich Ihnen zeigen, wie. Wählen Sie eine Sequenz aus $x_n$ so dass $x_n\rightarrow a$ . Dann finden wir eine $N_0$ so dass für alle $n\geq N_0$ wir haben $|x_n-a|<\delta$ . Deshalb diese $x_n$ erfüllen $|f(x_n)-L'|<\varepsilon$ . Seit $|\cdot|$ stetig ist folgt das Ergebnis.

Oh es tut mir leid. Ich habe vergessen hinzuzufügen, dass wir wissen , dass die Grenze tatsächlich existiert. Ich bin mir nicht sicher, wie ich vergessen konnte, ein so wichtiges Detail zu erwähnen.

Paramanand Singh · Answer 2

Dies ist eine einfache Folge der Grenzwertgesetze in Bezug auf Ungleichungen. Ihre gegebene Bedingung impliziert dies

L^{'} - ϵ < F (X) < L^{'} + ϵ

$L'-\epsilon <f(x) <L'+\epsilon$ in einer Nachbarschaft von

a

$a$ . Das Nehmen von Limit schwächt nur die Ungleichungen ab (Sie sollten ein Beispiel konstruieren, das zeigt, dass eine strenge Ungleichheit nach dem Nehmen von Limit nicht garantiert werden kann) und Sie erhalten

L^{'} - ϵ \leq lim_{X \to A} F (X) \leq L^{'} + ϵ

$L'-\epsilon \leq \lim_{x\to a} f(x) \leq L'+\epsilon$ so dass

| lim_{X \to A} F (X) - L^{'} | \leq ϵ

$|\lim_{x\to a} f(x) - L'|\leq \epsilon$

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Ziyad Edher

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MenschStampedist

Ziyad Edher

MenschStampedist

Paramanand Singh

Was ist, wenn ϵϵ\epsilon in der ϵϵ\epsilon-δδ\delta-Definition von Grenzen unendlich ist?

Beweise, dass limx→∞xsin2xlimx→∞xsin2⁡x\lim\limits_{x \to \infty} x \sin^2 x nicht existiert.

Beweisen Sie, dass das Limit nicht existiert, indem Sie die Epsilon-Delta-Definition verwenden

Kann xxx in der Definition von δδ\delta in einem ϵ−δϵ−δ\epsilon-\delta Grenzwertnachweis vorkommen?

ϵϵ\epsilon - δδ\delta Grenzwertdefinition - kleineres ϵϵ\epsilon impliziert kleineres δδ\delta?

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