Kann xxx in der Definition von δδ\delta in einem ϵ−δϵ−δ\epsilon-\delta Grenzwertnachweis vorkommen?

Question

Kann xxx in der Definition von δδ\delta in einem ϵ−δϵ−δ\epsilon-\delta Grenzwertnachweis vorkommen?

Grenzen
Infinitesimalrechnung
Mathematik
Epsilon-Delta

Alejandro Cambra

Die Logik sagt mir, dass dies nicht der Fall ist (es wäre kreisförmig, da das zulässige Intervall für $x$ ist selbst definiert durch $\delta$ ), aber ich weiß nicht, wo der Fehler in meiner Arbeitsweise liegt. Ich erkläre es...

Mein Zweifel entstand beim Studium der $\epsilon-\delta$ Definition für nichtlineare Polynomfunktionen, sagen wir eine quadratische Funktion, wenn Sie beweisen wollen, dass der Grenzwert gleich dem Wert der Funktion bei jedem gegebenen Wert von ist $x$ . Dies könnte beispielsweise bei der Durchgangsprüfung der Fall sein. Wie ich bisher gesehen habe, besteht der normale Weg, den Beweis für quadratische Polynome zu lösen, darin, die Epsilon-Ungleichung wie folgt umzuwandeln:

| F (X) - L | < ϵ = - ϵ < F (X) - L < ϵ

$|f(x) - L| < \epsilon = -\epsilon < f(x) - L < \epsilon$

Dann den mittleren Teil mit der unteren Seite des gleichen $\delta$ Ungleichheit und schließlich die Wahl des Minimums der beiden Möglichkeiten, die Sie erhalten, wobei Sie alle Werte berücksichtigen müssen $x$ wird ein Bild im Inneren haben $\epsilon$ Intervall.

Aber!

Wie ich kürzlich festgestellt habe, ist das Polynom, das Sie erhalten, nachdem Sie den Grenzwert der Funktion subtrahiert haben, wenn beide gleich sind, da dies zu 0 annulliert wird, immer faktorisierbar. Außerdem entspricht einer der beiden Faktoren, die Sie erhalten, bereits der unteren Seite der Delta-Ungleichung. Hier ist der formale Beweis dafür.

Gegeben:

lim_{X \to N} A X^{2} + B X + C = A N^{2} + B N + C

$\lim_{x \to n} ax^2 + bx + c = an^2 + bn + c$

Die Epsilon-Ungleichung des Beweises wäre:

| A X^{2} + B X + C - (A N^{2} + B N + C) | < ϵ

$|ax^2 + bx + c - (an^2 + bn + c)| < \epsilon$

Und davon ausgehend:

| A X^{2} + B X + C - A N^{2} - B N - C | < ϵ

$|ax^2 + bx + c - an^2 - bn - c| < \epsilon$

| A X^{2} + B X - A N^{2} - B N | < ϵ

$|ax^2 + bx - an^2 - bn| < \epsilon$

| A (X^{2} - N^{2}) + B (X - N) | < ϵ

$|a(x^2 - n^2) + b(x - n)| < \epsilon$

| A (X + N) (X - N) + B (X - N) | < ϵ

$|a(x + n)(x - n) + b(x - n)| < \epsilon$

| (X - N) (A (X + N) + B) | < ϵ

$|(x - n)(a(x + n) + b)| < \epsilon$

| X - N | | A (X + N) + B | < ϵ

$|x - n||a(x + n) + b| < \epsilon$

| X - N | < \frac{ϵ}{| A (X + N) + B |}

$|x - n| < \frac{\epsilon}{|a(x + n) + b|}$

Und da ist es! Sie haben immer die untere Seite der Delta-Ungleichung auf der linken Seite. So könnte man definieren $\delta$ als:

δ \leq \frac{ϵ}{| A (X + N) + B |}

$\delta \le \frac{\epsilon}{|a(x + n) + b|}$

Et voilà! Hier hast du $x$ Delta definieren.

Nun, offensichtlich geht hier etwas Seltsames vor ... nicht wahr? Ich vermute sehr, dass meine Mathematik irgendwann fehlerhaft ist, möglicherweise beim Umgang mit absoluten Werten. Hinzu kommt, dass ich keine Ahnung habe, wie ich diese Methode mit der verbinden soll, die zwischen zwei möglichen Werten von wählen muss $\delta$ .

Jede Hilfe bei diesem Durcheinander wäre sehr willkommen!

JW Tanner

Der Unterschied zwischen gleichmäßiger Stetigkeit und Stetigkeit besteht darin, dass für gleichmäßige Stetigkeit der Wert von δ nur von ε und nicht vom Punkt abhängt

x

$x$ in der Domäne

Paramanand Singh

δ

$\delta$ kommt drauf an

ϵ

$\epsilon$ und der Betrachtungspunkt (hier

n

$n$ ). Die Werte der Variablen

x

$x$ werden dann durch den Wert von eingeschränkt

δ

$\delta$ Auserwählt durch Ungleichheit

0 < | x - n | < δ

$0<|x-n|<\delta$ . Weiterhin erfordert die Definition, dass Sie die Existenz von a beweisen

δ

$\delta$ mit gewünschten Eigenschaften und man braucht keinen expliziten Ausdruck dafür

δ

$\delta$ .

Antworten (1)

Kann xxx in der Definition von δδ\delta in einem ϵ−δϵ−δ\epsilon-\delta Grenzwertnachweis vorkommen?

Der Unterschied zwischen gleichmäßiger Stetigkeit und Stetigkeit besteht darin, dass für gleichmäßige Stetigkeit der Wert von δ nur von ε und nicht vom Punkt abhängt $x$ in der Domäne
$\delta$ kommt drauf an $\epsilon$ und der Betrachtungspunkt (hier $n$ ). Die Werte der Variablen $x$ werden dann durch den Wert von eingeschränkt $\delta$ Auserwählt durch Ungleichheit $0<|x-n|<\delta$ . Weiterhin erfordert die Definition, dass Sie die Existenz von a beweisen $\delta$ mit gewünschten Eigenschaften und man braucht keinen expliziten Ausdruck dafür $\delta$ .

Arnaud Mortier · Answer 1

Arnaud Mortier

Wenn Sie irgendwann die Kontinuität überprüfen möchten $x$ , das allererste, was Sie tun, ist zu beheben $x$ . Von diesem Punkt aus, $x$ ist eine Konstante , wie $2$ oder $3$ . Zu sagen, dass du unglücklich bist, das zu sehen $x$ In $\delta$ in einem solchen Fall ist es so, als würde man sagen, dass man unglücklich ist, es zu sehen $2$ oder $3$ .

Jetzt in Ihrer Situation haben Sie Recht, dass es angesichts dessen ein Problem gibt $x$ ist eine Variable , die dazu tendiert $n$ , während $n$ ist die feste, also macht es keinen Sinn zu haben $x$ Teil der Definition von $\delta$ .

Sie können sich jedoch leicht davon befreien $x$ -abhängige rechte Seite, aber dazu müssen Sie die Kausalität in Ihrer Zeilenfolge fixieren, dh einfügen $\Rightarrow$ , $\Leftarrow$ , $\Leftrightarrow$ sofern relevant. Es ist sehr wichtig, dies ständig zu tun, sonst vergisst man, was man beweisen will, und schreibt am Ende Dinge auf, die keinen Sinn ergeben.

Also lass uns das tun, was du brauchst $|x-n|<\delta\implies |f(x)-f(n)|<\varepsilon$ . Also brauchen wir

| X - N | < \frac{ϵ}{| A (X + N) + B |} ⟸ | X - N | < δ

$|x - n| < \frac{\epsilon}{|a(x + n) + b|}\Longleftarrow |x - n| < \delta$ Und dafür reicht es zu haben

δ

$\delta$ kleiner als alle von der Funktion angenommenen Werte

\frac{ϵ}{| a (x + n) + b |}

$\frac{\epsilon}{|a(x + n) + b|}$ Wenn

x

$x$ umfasst eine enge Nachbarschaft von

n

$n$ . Das kannst du auf alle Fälle leicht überprüfen

a

$a$ Und

b

$b$ sind, gibt es eine solche

δ

$\delta$ .

Haris Gušić

Das OP prüft nicht auf Durchgang bei

x

$x$ , aber in

n

$n$ stattdessen.

x

$x$ ist nicht konstant.

Arnaud Mortier

@HarisGusic Danke. Fest.

Alejandro Cambra

Ich glaube, ich verstehe es nicht ganz. Könntest du ein funktionierendes Beispiel zeigen? Sagen,

lim_{x \to 2} x^{2} + 4

$\lim_{x\to 2} x^2 + 4$ , wo wir hätten

\frac{ϵ}{| x + n |}

$\frac{\epsilon}{|x + n|}$ , ohne

a

$a$ noch

b

$b$ . Soll ich versuchen, verschiedene Werte einzustecken und zu sehen, welche die Ungleichungen zum Tragen bringen? In diesem Fall zum Beispiel gegeben

n = 2

$n = 2$ , wenn ich wähle

ϵ = 3

$\epsilon = 3$ Ich müsste mich entscheiden

x > 1

$x > 1$ um das zu machen

ϵ

$\epsilon$ Ungleichheit halten. Aber dann weiß ich nicht genau, was ich damit machen soll

δ

$\delta$ . Ich habe das Gefühl, ich verstehe es ein wenig besser, aber ich kann mich nicht mit der ganzen Sache befassen.

Arnaud Mortier

@ AlejandroCambra, nehme ich an

n > 0

$n>0$ um es einfacher zu machen, darüber nachzudenken. Dann wenn

x

$x$ liegt im Intervall

[\frac{n}{2}, n + \frac{n}{2}]

$[\frac n2, n+\frac n2]$ , der Nenner

| x + n |

$|x+n|$ ist immer kleiner als

| 2 n |

$|2n|$ , was eine Konstante ist , und daher

\frac{ε}{| x + n |}

$\frac{\varepsilon}{|x+n|}$ ist immer mehr als

\frac{ε}{| 2 n |}

$\frac{\varepsilon}{|2n|}$ , So

δ = \frac{ε}{| 2 n |}

$\delta = \frac{\varepsilon}{|2n|}$ funktioniert.

Alejandro Cambra

Oh, OK, ich glaube, ich verstehe. Aber sollte nicht die Konstante sein

| 3 n |

$|3n|$ ? Weil

x

$x$ könnte sein

n + \frac{n}{2}

$n + \frac{n}{2}$ , daher

| x + n | = | \frac{5 n}{2} | > | 2 n |

$|x + n| = |\frac{5n}{2}| > |2n|$ . Und die Konstante konnte nicht ohne den Absolutwertoperator gesetzt werden, da

n

$n$ wird als positiv definiert? Jetzt. Wenn ich das richtig verstehe, besteht der Prozess darin, zunächst ein Intervall für zu definieren

x

$x$ und dann eine Konstante höher als den Nenner unter setzen

ϵ

$\epsilon$ , nicht wahr? Trotzdem habe ich einige Zweifel

x

$x$ . Was ist es? Was wäre seine grafische Darstellung? Muss es als Intervall definiert und zentriert werden?

n

$n$ ?

Arnaud Mortier

@AlejandroCambra richtig, mein Fehler, ersetze jede Instanz von

2 n

$2n$ von

3 n

$3n$ in meinem Kommentar.

Arnaud Mortier

x

$x$ ist nur eine Variable, die beliebige Werte annehmen kann, aber wenn Sie sich die Definition von Kontinuität ansehen, nur Werte, die beliebig nahe kommen

n

$n$ sind signifikant.

Alejandro Cambra

OK, ich habe diese Tage versucht, es zusammenzufassen, und ich habe Zweifel in Bezug auf Ihre erste Frage: Warum können wir nicht definieren

δ

$\delta$ als

\frac{ϵ}{| a (x + n) + b |}

$\frac{\epsilon}{|a(x + n) + b|}$ , anstatt so niedriger als das? Wurde Delta nicht als niedriger oder gleich diesem Ausdruck definiert? Abgesehen davon habe ich einen weiteren möglichen Vorbehalt gefunden. Nehmen

lim_{x \to 2} x^{2} + 4

$\lim_{x \to 2} x^2 + 4$ wieder und wähle

ϵ = 3

$\epsilon = 3$ Und

x = n + \frac{n}{2} = 3

$x = n + \frac{n}{2} = 3$ . Jetzt,

| x - n | < \frac{ϵ}{| 3 n |}

$|x - n| < \frac{\epsilon}{|3n|}$ gleich

1 < \frac{1}{2}

$1 < \frac{1}{2}$ , was offensichtlich nicht gilt.

Arnaud Mortier

@ AlejandroCambra

δ

$\delta$ ist definiert als kleiner oder gleich jedem möglichen Wert, der von diesem Ausdruck angenommen wird, als

x

$x$ variiert. Wirklich, Ihre erste Vermutung war absolut richtig, es macht wirklich keinen Sinn zu haben

x

$x$ in der Definition von

δ

$\delta$ . In der Tat,

x

$x$ ist eine gebundene Variable , die nur innerhalb der Grenze sinnvoll ist

lim_{x \to \dots}

$\lim_{x\to \ldots}$ .

Arnaud Mortier

@AlejandroCambra Das ist keine Einschränkung. Alles, was wir sagen, ist, dass IF

| x - n | < δ

$|x-n|<\delta$ DANN

| f (x) - f (n) | < ε

$|f(x)-f(n)|<\varepsilon$ . Aber

| x - n | \geq δ

$|x-n|\geq \delta$ kann sehr gut passieren, das ist in Ordnung.

Alejandro Cambra

Warum hast du dann gesagt: „Es ist genug zu haben

δ

$\delta$ weniger als alle von der Funktion angenommenen Werte"? Und wie ist das?

| x - n | \geq δ

$|x - n| \geq \delta$ erlaubt durch den Beweis?

Arnaud Mortier

@AlejandroCambra Wenn Sie diesen Punkt nicht verstehen, ist es am besten, Ihren Beweis wie von mir vorgeschlagen neu zu schreiben, indem Sie zuerst angeben, was Sie wollen, und dann das Relevante hinzufügen

⟹

$\implies$ Zeichen.

Kann xxx in der Definition von δδ\delta in einem ϵ−δϵ−δ\epsilon-\delta Grenzwertnachweis vorkommen?

Alejandro Cambra

JW Tanner

Paramanand Singh

Antworten (1)

Arnaud Mortier

Haris Gušić

Arnaud Mortier

Alejandro Cambra

Arnaud Mortier

Alejandro Cambra

Arnaud Mortier

Arnaud Mortier

Alejandro Cambra

Arnaud Mortier

Arnaud Mortier

Alejandro Cambra

Arnaud Mortier

Was ist, wenn ϵϵ\epsilon in der ϵϵ\epsilon-δδ\delta-Definition von Grenzen unendlich ist?

Beweise, dass limx→∞xsin2xlimx→∞xsin2⁡x\lim\limits_{x \to \infty} x \sin^2 x nicht existiert.

Finden der Grenze anhand des Beispiels ihrer Epsilon-Delta-Definition

Beweisen Sie, dass das Limit nicht existiert, indem Sie die Epsilon-Delta-Definition verwenden

ϵϵ\epsilon - δδ\delta Grenzwertdefinition - kleineres ϵϵ\epsilon impliziert kleineres δδ\delta?

Epsilon-Delta-Definition eines Derivats

Epsilon-Delta Beweis einer unendlichen Grenze

Fragen zur Epsilon-Delta-Definition eines Grenzwerts

Beweisen Sie mit der Epsilon-Definition

ϵ−δϵ−δ\epsilon-\delta Definition für Grenzen mit ∞∞\infty