ϵ−δϵ−δ\epsilon-\delta Definition für Grenzen mit ∞∞\infty

Question

ϵ−δϵ−δ\epsilon-\delta Definition für Grenzen mit ∞∞\infty

Grenzen
Infinitesimalrechnung
Unendlichkeit
Mathematik
Epsilon-Delta
Realanalyse

Störend

Für eine allgemeine Begrenzung der $\epsilon-\delta$ Definition einer Grenze (die formale Definition einer Grenze) sagt das aus

lim_{X \to A} F (X) = L \Leftrightarrow \forall ϵ > 0 (\exists δ > 0 : (0 < | X - A | < δ ⟹ | F (X) - L | < ϵ))

$\lim_{x \ \to \ a} f(x) = L \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0 \ (\exists \ \delta > 0 \ : \ (0<|x-a|<\delta \implies |f(x)-L| < \epsilon))$

Jedoch die $\epsilon -\delta$ Definition eines Limits ändert sich für Limits wie $x \to +\infty$ Und $x \to -\infty$ , und es ändert sich erneut für Grenzwerte, die ausgewertet werden $+\infty$ Und $-\infty$

1. Begrenzen als $x \to +\infty$

lim_{X \to + \infty} F (X) = L \Leftrightarrow \forall ϵ > 0 (\exists δ : (X > δ ⟹ | F (X) - L | \leq ϵ))

$\lim_{x \ \to \ +\infty} f(x) = L \Leftrightarrow \forall \ \epsilon>0\; (\exists \ \delta : (\;x>\delta\implies |f(x) - L|\leq\epsilon))$

2. Begrenzen als $x \to -\infty$

lim_{X \to - \infty} F (X) = L \Leftrightarrow \forall ϵ > 0 (\exists δ : (X < δ ⟹ | F (X) - L | \leq ϵ))

$\lim_{x \ \to \ -\infty} f(x) = L \Leftrightarrow \forall \ \epsilon>0\; (\exists \ \delta : (\;x<\delta\implies |f(x) - L|\leq\epsilon))$

3. Auswertung auf + beschränken $\infty$

lim_{X \to A} F (X) = + \infty \Leftrightarrow \forall M > 0 (\exists δ > 0 : (0 < | X - A | < δ ⟹ F (X) > M)

$\lim_{x \ \to \ a} f(x) = +\infty \Leftrightarrow \forall M > 0 \ (\exists \ \delta > 0 \ : \ (0<|x-a|<\delta \implies f(x) >M)$

4. Auswertung einschränken auf - $\infty$

lim_{X \to A} F (X) = - \infty \Leftrightarrow \forall N < 0 (\exists δ > 0 : (0 < | X - A | < δ ⟹ F (X) < N)

$\lim_{x \ \to \ a} f(x) = -\infty \Leftrightarrow \forall N < 0 \ (\exists \ \delta > 0 \ : \ (0<|x-a|<\delta \implies f(x) < N)$

Aber warum ist das so? Ich verstehe das, wenn Sie das Normale verwenden $\epsilon-\delta$ Definition einer Grenze In diesen Fällen erhalten Sie Widersprüche, die gerne auftauchen $0 < |x-\infty| < \delta \implies \delta > \infty$ , mit der man nichts weiter machen kann.

Während einige dieser Unterschiede subtil sein mögen, scheint es einfach kontraintuitiv, eine formale und allgemeine Definition zu ändern.

Ich weiß, dass die Grundidee hinter dem $\epsilon - \delta$ Die Definition bleibt in all diesen Beispielen gleich (dass wir, egal wie klein wir unsere "Fehlerdistanz" machen wollen ( $\epsilon$ ) können wir immer eine "Entfernung zu unserem Grenzpunkt" finden ( $\delta$ ), die die Definition einer Grenze erfüllt), aber um zu dieser Grundidee zu kommen, die $\epsilon - \delta$ Die Definition muss für jedes dieser Beispiele subtil geändert werden (und ich beziehe mich nicht auf Änderungen in der Notation).

Oder ist es nur so, dass die $\epsilon - \delta$ Definition für die allgemeine Grenze, die ich ganz am Anfang dieses Beitrags gesetzt habe, ist nicht so allgemein, wie ich dachte?

Außerdem, wie funktioniert die $\epsilon - \delta$ Definition einer Grenzwertänderung für diese Fälle (die formalen Definitionen davon scheinen in keinem einführenden Lehrbuch zur Analysis behandelt zu werden).

5. Begrenzen als $x \to +\infty$ $= +\infty$

lim_{X \to + \infty} F (X) = + \infty \Leftrightarrow ? ? ?

$\lim_{x \ \to \ +\infty} f(x) = +\infty \Leftrightarrow \ ???$

6. Begrenzen als $x \to -\infty$ $= -\infty$

lim_{X \to - \infty} F (X) = - \infty \Leftrightarrow ? ? ?

$\lim_{x \ \to \ -\infty} f(x) = -\infty \Leftrightarrow \ ???$

7. Begrenzen als $x \to -\infty$ $= +\infty$

lim_{X \to - \infty} F (X) = + \infty \Leftrightarrow ? ? ?

$\lim_{x \ \to \ -\infty} f(x) = +\infty \Leftrightarrow \ ???$

8. Begrenzen als $x \to +\infty$ $= -\infty$

lim_{X \to + \infty} F (X) = - \infty \Leftrightarrow ? ? ?

$\lim_{x \ \to \ +\infty} f(x) = -\infty \Leftrightarrow \ ???$

John Duma

Wie kannst du nach innen kommen?

ϵ

$\epsilon$ der Unendlichkeit?

Störend

@JohnDouma Ich verstehe, was du sagst, in diesem Fall sind die letzten 4 Fälle, die ich skizziert habe, durch die nicht beweisbar

ϵ - δ

$\epsilon-\delta$ Definition einer Grenze?

John Duma

Überlegen Sie, was die Definitionen sagen. Wenn ich mich einem Wert nähere, bekomme ich einen Wert. Wenn dieser Wert unendlich ist, was kein Wert ist, müssen wir sagen, dass wir beliebig groß werden. Verwenden Sie Ihre Nummer 1 als Beispiel, anstatt zu sagen, wenn

x

$x$ ist drinnen

δ

$\delta$ der Unendlichkeit sagen wir, dass wenn

x > δ

$x>\delta$ Dann

f (x)

$f(x)$ ist drinnen

ϵ

$\epsilon$ von

L

$L$ .

Doug M

Das Problem besteht darin, dass es schwierig ist, unendlich und unendlich klein zu definieren. Also finden wir Definitionen, die diese problematischen Konzepte vermeiden. Infinitesimal wird

< ϵ

$<\epsilon$ und unendlich wird > N.

Daniel Schepler

Dies ist etwas fortgeschrittener, aber alle diese Grenzen können mit dem Begriff "Grenze eines Filters" vereinheitlicht werden. Also für endliche Grenzen, wenn

F

$\mathscr{F}$ ist ein Filter an

X

$X$ Und

f : X \to Y

$f : X \to Y$ , dann können wir sagen

lim_{F} f (x) = L

$\lim_{\mathscr{F}} f(x) = L$ wenn der filter

f_{*} (F)

$f_*(\mathscr{F})$ hat Grenze

L

$L$ . Sonderfälle: "

x \to x_{0}

$x \to x_0$ " würde der Filter von durchstochenen Nachbarschaften sein

x_{0}

$x_0$ ;

x \to \infty

$x \to \infty$ wäre der Filter generiert durch

(N, \infty)

$(N, \infty)$ ;

x \to x_{0}^{+}

$x \to x_0^+$ wäre der Filter generiert durch

(x_{0}, x_{0} + ϵ)

$(x_0, x_0 + \epsilon)$ ; usw.

Daniel Schepler

Und für unendliche Grenzen, könnten wir sagen

f (x) G

$f(x) ~ \mathscr{G}$ als

x F

$x \mathscr{F}$ Wenn

G \subseteq f_{*} F

$\mathscr{G} \subseteq f_* \mathscr{F}$ - oder anders gesagt, für jeden

S \in G

$S \in \mathscr{G}$ ,

f^{- 1} (S) \in F

$f^{-1}(S) \in \mathscr{F}$ . Also zum Beispiel zu sagen "

f (x) \to \infty

$f(x) \to \infty$ als

x \to \infty

$x \to \infty$ “ würde übersetzen: für alle

N

$N$ , es existiert

M

$M$ so dass wann immer

x > M

$x > M$ , Dann

f (x) > N

$f(x) > N$ .

Zhanxiong

Es ist

ϵ

$\epsilon$ -

δ

$\delta$ , nicht

ϵ - δ

$\epsilon - \delta$ . Es ist nämlich ein Strich dazwischen

ϵ

$\epsilon$ Und

δ

$\delta$ , anstelle eines Minuszeichens.

Markus S.

Durch die Verwendung einer kontinuierlichen Funktion wie

f (x) = \frac{x}{1 + | x |}

$f(x)=\dfrac{x}{1+|x|}$ oder

g (x) = \arctan x

$g(x)=\arctan x$ , können Sie die Realzahlen in ein offenes Intervall endlicher Länge umwandeln. Durch Hinzufügen der Endpunkte erhalten Sie ein geschlossenes Intervall endlicher Länge, das den reellen Zahlen mit entspricht

\pm \infty

$\pm\infty$ . Dann können Sie die Standarddefinitionen für alles verwenden:

lim_{x \to \infty} h (x) = lim_{u \to 1^{-}} h (f^{- 1} (u)) = lim_{u \to (π / 2)^{-}} h (\tan (u))

$\displaystyle{\lim_{x\to\infty}}h(x)=\displaystyle{\lim_{u\to1^-}}h(f^{-1}(u))=\displaystyle{\lim_{u\to(\pi/2)^-}}h(\tan(u))$ Und

lim_{x \to a} h (x) = \infty

$\displaystyle{\lim_{x\to a}}h(x)=\infty$ bedeutet

lim_{x \to a} f (h (x)) = 1

$\displaystyle{\lim_{x\to a}}f(h(x))=1$ .

Antworten (2)

ϵ−δϵ−δ\epsilon-\delta Definition für Grenzen mit ∞∞\infty

Wie kannst du nach innen kommen? $\epsilon$ der Unendlichkeit?
@JohnDouma Ich verstehe, was du sagst, in diesem Fall sind die letzten 4 Fälle, die ich skizziert habe, durch die nicht beweisbar $\epsilon-\delta$ Definition einer Grenze?
Überlegen Sie, was die Definitionen sagen. Wenn ich mich einem Wert nähere, bekomme ich einen Wert. Wenn dieser Wert unendlich ist, was kein Wert ist, müssen wir sagen, dass wir beliebig groß werden. Verwenden Sie Ihre Nummer 1 als Beispiel, anstatt zu sagen, wenn $x$ ist drinnen $\delta$ der Unendlichkeit sagen wir, dass wenn $x>\delta$ Dann $f(x)$ ist drinnen $\epsilon$ von $L$ .
Das Problem besteht darin, dass es schwierig ist, unendlich und unendlich klein zu definieren. Also finden wir Definitionen, die diese problematischen Konzepte vermeiden. Infinitesimal wird $<\epsilon$ und unendlich wird > N.
Dies ist etwas fortgeschrittener, aber alle diese Grenzen können mit dem Begriff "Grenze eines Filters" vereinheitlicht werden. Also für endliche Grenzen, wenn $\mathscr{F}$ ist ein Filter an $X$ Und $f : X \to Y$ , dann können wir sagen $\lim_{\mathscr{F}} f(x) = L$ wenn der filter $f_*(\mathscr{F})$ hat Grenze $L$ . Sonderfälle: " $x \to x_0$ " würde der Filter von durchstochenen Nachbarschaften sein $x_0$ ; $x \to \infty$ wäre der Filter generiert durch $(N, \infty)$ ; $x \to x_0^+$ wäre der Filter generiert durch $(x_0, x_0 + \epsilon)$ ; usw.
Und für unendliche Grenzen, könnten wir sagen $f(x) ~ \mathscr{G}$ als $x \mathscr{F}$ Wenn $\mathscr{G} \subseteq f_* \mathscr{F}$ - oder anders gesagt, für jeden $S \in \mathscr{G}$ , $f^{-1}(S) \in \mathscr{F}$ . Also zum Beispiel zu sagen " $f(x) \to \infty$ als $x \to \infty$ “ würde übersetzen: für alle $N$ , es existiert $M$ so dass wann immer $x > M$ , Dann $f(x) > N$ .
Es ist $\epsilon$ - $\delta$ , nicht $\epsilon - \delta$ . Es ist nämlich ein Strich dazwischen $\epsilon$ Und $\delta$ , anstelle eines Minuszeichens.
Durch die Verwendung einer kontinuierlichen Funktion wie $f(x)=\dfrac{x}{1+|x|}$ oder $g(x)=\arctan x$ , können Sie die Realzahlen in ein offenes Intervall endlicher Länge umwandeln. Durch Hinzufügen der Endpunkte erhalten Sie ein geschlossenes Intervall endlicher Länge, das den reellen Zahlen mit entspricht $\pm\infty$ . Dann können Sie die Standarddefinitionen für alles verwenden: $\displaystyle{\lim_{x\to\infty}}h(x)=\displaystyle{\lim_{u\to1^-}}h(f^{-1}(u))=\displaystyle{\lim_{u\to(\pi/2)^-}}h(\tan(u))$ Und $\displaystyle{\lim_{x\to a}}h(x)=\infty$ bedeutet $\displaystyle{\lim_{x\to a}}f(h(x))=1$ .

Jason · Answer 1

Um dies zu verstehen, müssen Sie an die Intuition hinter dem denken $\epsilon$ - $\delta$ Definition. Wir wollen $\lim_{x\to a}f(x)=L$ wenn wir machen können $f(x)$ so nah dran $L$ wie wir es gerne machen $x$ ausreichend nah dran $a$ . Anders formuliert könnten wir sagen:

$\lim_{x\to a}f(x)=L$ wenn eine Nachbarschaft gegeben ist $U$ von $L$ , es gibt eine Nachbarschaft $V$ von $a$ so dass Elemente von $V$ werden abgebildet von $f$ zu Elementen von $U$ (außer evtl $a$ selbst).

In diesem Zusammenhang eine "Nachbarschaft" eines Punktes $p$ sind so zu verstehen, dass "Punkte, die nahe genug beieinander liegen, gemeint sind $p$ ". Lassen Sie uns das präzisieren, indem wir definieren, was wir unter "nahe" verstehen $\epsilon>0$ (es wird angenommen, ist aber nicht erforderlich, dass es sehr klein ist) definieren

B (X, ϵ) := {j : | X - j | < ϵ},

$B(x,\epsilon):=\{y\,:\,|x-y|<\epsilon\},$ die Kugel des Radius

ϵ

$\epsilon$ um

x

$x$ . Für unsere Zwecke sagen wir

U

$U$ ist eine Nachbarschaft von

x

$x$ Wenn

U = B (x, ϵ)

$U=B(x,\epsilon)$ für einige

ϵ > 0

$\epsilon>0$ . (Die übliche Definition verlangt nur das

U

$U$ enthält einen solchen Ball.) Angenommen

ϵ > 0

$\epsilon>0$ sehr klein ist, stimmt dies mit unserer Intuition überein, was Nähe bedeuten sollte. Wenn wir nun auf unsere Nachbarschafts-„Definition“ einer Grenze zurückkommen, sollten Sie in der Lage sein, ein wenig darüber nachzudenken und sich davon zu überzeugen, dass sie der üblichen Definition entspricht.

Wie hängt das mit dem Problem mit der Unendlichkeit zusammen? Angesichts der Tatsache, dass Unendlich keine reelle Zahl ist (und Dinge wie die Entfernung von Unendlich keinen Sinn ergeben), müssen wir überarbeiten, was es bedeutet, "nah" an Unendlich zu sein. So für $M>0$ (diesmal als sehr groß angenommen) definieren

B (+ \infty, M) := {j : j > M}, B (- \infty, M) := {j : j < - M},

$B(+\infty,M):=\{y\,:\,y>M\},\quad B(-\infty,M):=\{y\,:\,y<-M\},$ die Stadtteile von

\pm \infty

$\pm\infty$ . Hoffentlich können Sie erkennen, warum diese als Definitionen sinnvoll sind; eine Zahl sollte nahe unendlich sein, wenn sie sehr groß ist (mit dem richtigen Vorzeichen), also sollte eine Umgebung von unendlich alle ausreichend großen Zahlen enthalten.

Jetzt erweitern wir unsere Nachbarschaftsdefinition von Grenzen um den Fall wo $a$ oder $L$ kann sein $\pm\infty$ . Es ist eine ähnliche Übung wie zuvor, jetzt zu überprüfen, ob die Definition immer noch der alten entspricht, nur haben wir jetzt in gewissem Sinne etwas vereinheitlicht.

Nur aus Neugier, wo genau hast du diese Definition her? $B(x, \epsilon) := \{y : |x-y| \leq \epsilon\}$ , wird es zufällig in den Prinzipien der mathematischen Analyse behandelt?

Jack B · Answer 2

Wir müssen hier die formale Definition ändern, weil $\pm\infty$ sind keine Mitglieder von $\mathbb{R}$ .

Eine Möglichkeit, dies zu verallgemeinern, besteht darin, die Menge zu betrachten $\mathbb{R}_\infty = \mathbb{R} \cup \{\infty\}$ . Beachten Sie hier, dass wir keinen Unterschied machen zwischen $\pm\infty$ . Wir können auf dieser Menge eine Hausdorff-Topologie auf der Grundlage offener Mengen definieren

{U \subset R : U ist offen} \cup {B_{\infty} (δ) : δ > 0}

$\{U \subset \mathbb{R} : U \text{ is open}\} \cup \{B_\infty(\delta):\delta > 0\}$ wo wir den offenen Ball über die Unendlichkeit als definieren

B_{\infty} (δ) = {x \in R : | x | > δ}

$B_\infty(\delta) = \{x \in \mathbb{R} : |x| > \delta\}$ . Dieser topologische Raum ist kompakt und wird Ein-Punkt-Kompaktifizierung von genannt $\mathbb{R}$ . Es ist homöomorph zu einem Kreis.

(Wenn Sie hier verloren sind, weil Sie noch nie von Topologie gehört haben, stellen Sie sich einfach vor, Sie würden die echte Linie um einen Kreis wickeln und die Enden an einem Punkt zusammenkleben, den wir nennen $\infty$ . Dann „vergiss“ die ursprünglichen Zahlen und behandle alle Teile des Kreises gleich. Insbesondere funktionieren Limits überall auf diesem Kreis gleich.)

Sie können diese Funktion beweisen $f : \mathbb{R}_\infty \to \mathbb{R}_\infty$ ist an einem Punkt stetig $a \in \mathbb{R}$ (unter Verwendung der Standarddefinition für Kontinuität in einem Hausdorff-Raum), wenn die Einschränkung $f|_\mathbb{R}$ ist stetig bei $a$ . Ebenso kann man beweisen, dass es stetig at ist $a = \infty \in \mathbb{R}_\infty$ wenn die Grenzen $\lim_{x\to+\infty} |f|_\mathbb{R}|$ Und $\lim_{x\to-\infty} |f|_\mathbb{R}|$ existieren (unter Verwendung Ihrer Definitionen für diese Grenzen und der Konvention $\infty = |\pm\infty|$ ) Und

lim_{X \to + \infty} | F |_{R} | = lim_{X \to - \infty} | F |_{R} | = F (\infty) .

$\lim_{x\to+\infty} |f|_\mathbb{R}| = \lim_{x\to-\infty} |f|_\mathbb{R}| = f(\infty) .$

Es könnte Ihnen gefallen zu bemerken (und zu beweisen), dass, wo es existiert,

lim_{X \to + \infty} F (X) = lim_{X \to^{+} 0} F (1 / X) .

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to ^+0} f(1/x).$ Wenn Sie sich über Möbius-Karten informiert haben

R

$\mathbb{R}$ , das wirst du finden

x \mapsto 1 / x

$x \mapsto 1/x$ ist eine Möbius-Kartenaufnahme

0 \mapsto \infty

$0 \mapsto \infty$ Und

\infty \mapsto 0

$\infty \mapsto 0$ . Diese (algebraische) Definition ist von der Analyse hier inspiriert. Die Möbius-Karten bilden eine Gruppe unter Zusammensetzung und sind sehr wichtig in mehreren Bereichen der Mathematik (zB in der Theorie der modularen Kurven).

In Bezug auf Ihre Definitionen 5-8 waren Sie Ihrer vorherigen Vermutung sehr nahe. Es ist eine nützliche Übung, explizit aufzuschreiben, was Sie mit Sätzen wie „als“ meinen $x \to \infty$ ".

Wenn wir über beides sprechen $x$ oder $f(x)$ zu etwas neigen $\pm\infty$ , meinen wir, dass es „wirklich groß wird“ (im positiven oder negativen Sinne). Wir drückten „wirklich nahe kommen“ durch die Verwendung von aus $\epsilon$ - $\delta$ Definition, mit der Sie zufrieden sind. In Ihren Definitionen 1-4 haben Sie diese geändert, um eine der Aussagen „wirklich nahe dran zu werden“ in eine Aussage „wirklich groß zu werden“ zu ändern.

Ausdrücken $x \to +\infty$ in 1 haben Sie den relevanten Teil der Aussage in geändert $(\exists \delta : x > \delta \Rightarrow \dots)$ . Ausdrücken $f(x) \to +\infty$ in 3 haben Sie den relevanten Teil der Aussage in geändert $(\forall M > 0: (\exists \delta: \dots \Rightarrow f(x)>M))$ .

Wenn wir diese Charakterisierungen zusammenfügen, kommen wir zu der Definition für 5

lim_{X \to + ich N F T j} F (X) = \infty \Rightarrow \forall M > 0 (\exists δ : X > δ \Rightarrow F (X) > M) .

$\lim_{x\to+infty} f(x) = \infty \quad\Rightarrow\quad \forall M > 0 (\exists \delta: x > \delta \Rightarrow f(x) > M).$

Sehen Sie, ob Sie jetzt 6-8 schaffen.

ϵ−δϵ−δ\epsilon-\delta Definition für Grenzen mit ∞∞\infty

Störend

1. Begrenzen als $x \to +\infty$

2. Begrenzen als $x \to -\infty$

3. Auswertung auf + beschränken $\infty$

4. Auswertung einschränken auf - $\infty$

5. Begrenzen als $x \to +\infty$ $= +\infty$

6. Begrenzen als $x \to -\infty$ $= -\infty$

7. Begrenzen als $x \to -\infty$ $= +\infty$

8. Begrenzen als $x \to +\infty$ $= -\infty$

John Duma

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1. Begrenzen alsx → + ∞ X → + ∞ x \to +\infty

2. Begrenzen alsx → − ∞ X → − ∞ x \to -\infty

3. Auswertung auf + beschränken∞ ∞ \infty

4. Auswertung einschränken auf -∞ ∞ \infty

5. Begrenzen alsx → + ∞ X → + ∞ x \to +\infty = + ∞ = + ∞ = +\infty

6. Begrenzen alsx → − ∞ X → − ∞ x \to -\infty = − ∞ = − ∞ = -\infty

7. Begrenzen alsx → − ∞ X → − ∞ x \to -\infty = + ∞ = + ∞ = +\infty

8. Begrenzen alsx → + ∞ X → + ∞ x \to +\infty = − ∞ = − ∞ = -\infty

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1. Begrenzen als $x \to +\infty$

2. Begrenzen als $x \to -\infty$

3. Auswertung auf + beschränken $\infty$

4. Auswertung einschränken auf - $\infty$

5. Begrenzen als $x \to +\infty$ $= +\infty$

6. Begrenzen als $x \to -\infty$ $= -\infty$

7. Begrenzen als $x \to -\infty$ $= +\infty$

8. Begrenzen als $x \to +\infty$ $= -\infty$