Fragen zur Epsilon-Delta-Definition eines Grenzwerts

Die Definition ist richtig. Beachten Sie, dass machen$\epsilon$größer macht die Bedingung

"Für alle$x$"bedeutet wörtlich "für alle".$x$". Das ist,$x$kann alles sein , nicht einmal unbedingt eine Zahl! Es ist nicht notwendig zu erwähnen$x$eine Zahl sein oder verlangen$0<|x-a|<\delta$in diesem Teil, denn wenn diese Ungleichung nicht wahr ist, dann die Implikation

(Um es klar zu sagen, damit dies Sinn macht, müssen Sie interpretieren$|f(x)-L|<\epsilon$als falsch, wenn$x$ist keine reelle Zahl im Definitionsbereich von$f$und ähnlich$0 < |x - a| < \delta$als falsch, wenn$x$ist keine reelle Zahl. Auf diese Weise können Sie der Implikation in jedem Fall einen Wahrheitswert zuweisen$x$Ist.)

1. Die Definition ist zutreffend. Alle Intervalle sind per Definition zusammenhängend, wenn Sie das mit "kontinuierlich" meinen. Funktionen sind stetig, aber Stetigkeit ist für ein Intervall nicht definiert.

2. Hier ist die Sache mit Grenzen: Sie kümmern sich einfach nicht um das Verhalten der Funktion weit weg vom Punkt$a$: Sie sind NUR besorgt über das Verhalten von$f(x)$NAHE$a$. Wie nah? So nah wie irgendjemand (nicht Sie) will. Mit anderen Worten, Grenzen stellen die Frage: Was passiert, wenn Sie weiter hineinzoomen und weiter hineinzoomen und weiter hineinzoomen, ... Aber Sie kommen nicht wirklich an$a$. Sie würden also kein großes Epsilon auswählen. Epsilon wird immer als sehr kleine Zahl betrachtet. Übrigens auch Delta.

Du stellst die richtigen Fragen!

Lassen Sie mich Ihnen ein extremes Beispiel geben. Dann beantworte ich Ihre Frage.

Lassen$f(x)$dann die Funktion that.

Wenn$x$ist dann irrational$f(x) = 2+x$.

Wenn$x = \frac ab$Wo$\frac ab$ist dann eine rationale Zahl in "niedrigsten Begriffen".$f(x) = 2 + \frac 1{b}$. (Wir gehen davon aus, dass der Nenner nicht negativ ist, obwohl der Zähler es sein könnte.)

Dann$f(0)$ist undefiniert (wie$2 + \frac 1n)$ist undefiniert) und diese seltsame Funktion ist sicherlich nicht stetig. Ich werde (zu diesem Zeitpunkt) nicht auf die genaue Bedeutung von kontinuierlich eingehen, aber Sie können sehen, dass es abspringt$2$Zu$2 \frac 1{b}$als$x$geht von rationalen zu irrationalen Werten und als Rationalen mit kleinen Nennern oder unendlich nahe an Rationalen mit hohen Nennern springt es herum wie ein Floh.

Anspruch 1:$\lim_{x\to 0} f(x) = 2$.

Anspruch 2:$\lim_{x \to 1}f(x) \ne 3$

Anspruch 3:$\lim_{x \to 1}f(x) = k$wird auf jeden Fall falsch sein$k$wir pflücken.

Um zu beweisen, dass$\lim_{x\to 0} f(x) = 2$wir wollen zeigen, dass wir das "erzwingen" können$f(x)$s "sehr nah dran zu sein$2$„Wenn wir das erzwingen$x$s um "sehr nahe" zu kommen$0$.

Wenn wir das wollen$f(x)$s innerhalb sein$\frac 14$von$2$wir können das erzwingen$x$s innerhalb von a sein$\frac 14$von$0$. Wenn$|x| < \frac 14$dann entweder$x$ist irrational bzw$x =\frac ab$für einige$a,b$.

Wenn$x$ist dann irrational$f(x) = 2+x$.$x$ist drinnen$\frac 14$von Null, also$f(x)$ist drinnen$\frac 14$von$2$.

Wenn$x= 0$da haben wir ein problem$f(x)$nicht definiert. Nun, das ist nicht wirklich ein Problem, weil uns das Verhalten von interessiert$f(x)$ nahe $0$. Nicht bei $0$.

Wenn$x = \frac ab$ist rational und$x \ne 0$Und$|x| < \frac 14$Dann$b \ge 4$Und$\frac 1b < \frac 14$. Das bedeutet$f(x) = 2 + \frac 1b$ist so das$2 < f(x) < 2 + \frac 14$So$f(x)$ist mit$\frac 14$von$2$.

Also zwangen wir$f(x)$drin sein$\frac 14$von$2$durch Zwang$x$drin sein$\frac 14$von$0$.

Das war ein Beispiel, können wir uns etwas für alle Entscheidungen einfallen lassen , wie nah wir uns sein wollen?

Wenn wir wollen$f(x)$drin sein$\epsilon$von$2$für jeden sehr sehr kleinen Wert von$\epsilon$, können wir dies durch Erzwingen tun$x$drin sein$\delta = \epsilon$von$0$.

Wenn$x$ist irrational,$f(x) = 2+x$. Aber$x$ist drinnen$\epsilon$von$0$So$f(x)$liegt innerhalb von Epsilon von$2$.

Wenn$x$ist rational und$x = \frac ab; a\ne 0$Und$|\frac ab | < \delta = \epsilon$. Dann$b > \frac 1{\epsilon}$. SO$f(x) = 2 + \frac 1b < 2 + \epsilon$. So$f(x)$ist drinnen$\epsilon$von$2$.

Das tut es also. Wir können zwingen$f(x)$so nah sein$2$wie wir wollen durch Erzwingen$x$in einer bestimmten Entfernung sein$0$.

Anspruch 2: Versuch zu erzwingen$f(x)$zu etwas nahe sein$3$durch Zwang$x$zu etwas nahe sein$1$.

Versuchen wir es mit Gewalt$f(x)$drin sein$\frac 14$von$3$.

Nun, egal, wie nah wir gewählt haben$x$sein$1$wir werden eine rationale finden,$r$mit einem Nenner mehr als$4$Und$f(x) = 2 +\frac 14 < 2+\frac 14$und das wird nicht innerhalb sein$\frac 14$von$3$.

In der Tat für jeden$x < 1$oder$x > 1$die wir auswählen, werden wir feststellen, dass wir immer feststellen können, dass es eine ganze Zahl gibt$N > \frac 1{|x-1|}$und entweder$x < 1 - \frac 1N$oder$1+ \frac 1N<x$und so$f(1 \pm \frac 1N ) = 2 + \frac 1N$aber es wird auch eine Irration geben$y$so dass$x < y < 1$oder$1 < y < x$. Und$f(x)$ist drinnen$|x-1|$von$3$.

Also können wir nichts erzwingen$f(x)$an irgendetwas herankommen$x=1$.

....

Hoffentlich macht das die Definition klarer.

$\lim_{x\to a} f(x) = L$bedeutet

Für jede Distanz$\epsilon > 0$, egal wie klein, wir können zwingen$f(x)$drin sein$\epsilon$von$L$(also Kraft$|f(x) - L | <\epsilon$), indem man a findet$\delta$damit, wann immer wir haben$x$innerhalb$\delta$von$a$(dh$|x - a| < \delta$) müssen wir haben$|f(x) - L | < \epsilon$.

Also zu deinen Fragen:

1) "Ich nehme an, offenes Intervall bedeutet nur etwas von der Form (a,b), das keine Endpunkte enthält, aber brauchen wir nicht auch, dass dieses Intervall kontinuierlich ist?"

Das offene Intervall liegt um die Eingänge herum$a$. Mit den Ausgängen hat das nichts zu tun $f(x)$, die wie Flöhe herumhüpfen können (vorausgesetzt, der Hüpfer wird immer kleiner$x$ist in der Nähe$a$.

Das alles sagt also aus, dass es einen kleinen Bereich gibt$a$wo all die$x$um$a$werde haben$f(x)$gut definiert.

2) "Ich bin verwirrt über die Verwendung von "für alle". Bedeuten sie wörtlich "für alle x"?

Nein. Sie meinen alle$x$so dass$|x - a| < \delta$. Mit anderen Worten, sie meinen alle$x \in (a-\delta,a+\delta)$.