Was ist die richtige Definition des Grenzwerts einer Funktion?

Also kam ich zu dieser Frage, während ich versuchte, eine einfachere zu beantworten: "Ist die Quadratwurzelfunktion stetig bei 0 oder nur rechts durchgehend?"
Schaut man sich die Wikipedia-Seite an ε - δ Definition der Grenze: Link . Es enthält die Anforderung, dass der Punkt, dem sich die Eingabe nähert, der Grenzpunkt des Funktionsbereichs ist.

Wenn wir nun auf die Wikipedia-Seite über Funktionseinschränkungen gehen, erhalten wir die folgende Definition: link . Dort ist die Domäne der Funktion selbst auf ein offenes Intervall oder eine reelle Linie beschränkt. Also beschloss ich, Beispiele für Definitionen aus Analysis- und Analysis-Lehrbüchern zu nehmen. In Rudins "Prinzipien der mathematischen Analyse" haben wir also die Definition, die für metrische Räume gilt, aber sie kann sicherlich für reellwertige Funktionen reeller Variablen angegeben werden, sodass seine Definition tatsächlich dieselbe ist wie die Definition auf der ersten von mir erwähnten Wikiseite.
Wenn wir uns Spivaks „Calculus“ ansehen, kann seine Definition meiner Meinung nach wie folgt zusammengefasst werden: ∀ ϵ > 0 ∃ δ > 0 ∀ X , 0 < | X − A | < δ → | F ( X ) − L | < ε und er fügt auch eine Anforderung für hinzu F in einer offenen Nachbarschaft definiert werden A , außer vielleicht A selbst.
Und das Problem mit unterschiedlichen Definitionen ist, dass sie nicht gleichwertig sind. Die Definition von Rudin und Spivak sind nicht äquivalent, weil zB nach Rudins Definition Quadratwurzel aus X wobei der Bereich nichtnegativer reeller Zahlen stetig ist 0 , aber bei Spivak ist es das nicht.
Wenn Sie sich die Definition von Rudin (oder die zuerst erwähnte Wikiseite) ansehen, erlaubt sie Funktionsgrenzen mit Domänen, die keine offenen Intervalle sind, aber die Definition auf der zweiten Wikiseite erlaubt nur Funktionsgrenzen mit Domänen, die offene Intervalle sind.

Welche Definition ist also richtig (tatsächlich gibt es möglicherweise einige andere Definitionen in anderen Lehrbüchern, sodass Sie sie als Antwort auf die Frage geben können)? Oder bin ich da zu pedantisch?

@mvw OK, sorry, ich werde versuchen, es zu bearbeiten.
Der erste Wikipage-Link, den Sie erwähnt haben, behauptet, dass seine Definition von Spivak stammt. Können Sie bitte die Definition von Rudin aufschreiben?
@uniquesolution Ja, es heißt wirklich, dass es von Spivak stammt, aber ich habe Spivak überprüft und dort sehe ich eine andere Definition (eine, die ich in den Beitrag geschrieben habe), aber wenn Sie möchten, werde ich Rudins Definition schreiben.
Die Definition, die Sie in Ihrem Beitrag geschrieben haben und von der Sie sagen, dass sie von Spivak stammt, scheint mir identisch mit der Definition zu sein, auf die Ihre erste Wikiseite verweist, was nicht überraschend ist, da sie beide von Spivak stammen. Welchen Unterschied siehst du? Und ja, bitte fügen Sie die Definition von Rudin hinzu, da sie ein wesentlicher Bestandteil Ihres Beitrags ist.
@uniquesolution Entschuldigung, jetzt wurde mir klar, dass Spivaks Calculus, auf den ich mich bezog, eine ältere Ausgabe war als eine, die auf der Wikiseite erwähnt wurde.
Und Sie glauben also, dass Spivak seine Definition einer Grenze zwischen zwei Editionen geändert hat? Unwahrscheinlich.
@uniquesolution Dann weiß ich nicht, wie Wikipedia auf Spivak verweisen kann. Vielleicht kann jemand, der die 4. Ausgabe hat, bestätigen, welche Definition dort ist.
@uniquesolution Die Definition im Hauptteil der Frage stimmt nicht mit der Definition im ersten verlinkten Wiki überein. Die Definition auf der ersten verlinkten Seite ermöglicht die Funktion F ( X ) = X mit Domäne Q überall Grenzen zu haben, im Gegensatz zu der Definition im OP, unter der es nirgendwo eine Grenze gibt.
Kalkül- / Analysebücher unterscheiden sich darin, wie sie dies genau behandeln. Manche würden sagen, die Grenze existiert. Einige würden sagen, dass das Limit nicht existiert, aber es wird trotzdem als kontinuierlich bei 0 angesehen, da Endpunkte ein Sonderfall sind. Ich denke, einige könnten sagen / implizieren, dass es bei 0 nicht kontinuierlich ist. Im Wesentlichen würden alle Topologiebücher sagen, dass es kontinuierlich ist.

Antworten (1)

Ich habe keines der Bücher vor mir, aber ich habe dieses Problem auch schon lange.

Lassen Sie mich die beiden Definitionen kurz wiederholen:

Der Hauptteil des Quantifizierers ist derselbe, dh:

∀ ϵ ∃ δ ∀ X ( ( 0 < | X − C | < δ ) ⟹ ( | F ( X ) − L | < ϵ ) )

Der Unterschied besteht darin, dass in einem Fall eine unterbrochene Umgebung vorhanden sein muss, damit die Grenze existiert C was in der Domäne von liegt F und im anderen Fall verlangen Sie nur das C ist ein Grenzpunkt des Definitionsbereichs.

Die zweite Definition ist eine Verallgemeinerung der ersten, wie leicht ersichtlich ist. Welches richtig ist, ist in gewisser Weise keine vernünftige Frage. Sie sind Definitionen, sie sind beide selbstkonsistent, also sind sie beide "richtig", was Definitionen betrifft. Vielmehr ist es eine Frage der Konvention, welche in einer bestimmten Tradition/Schule usw. verwendet wird. In letzter Zeit scheine ich mehr von der restriktiveren Version (mit punktierten Nachbarschaften) gesehen zu haben, aber ich persönlich erinnere mich, dass ich die allgemeinere gelehrt habe.

BEARBEITEN Nach einigen aufschlussreichen Kommentaren von @Hurkyl muss ich zugeben, dass die Wahl des Wortlauts von "allgemeiner" nicht wirklich großartig ist. Es impliziert, dass die zweite Version eine Verallgemeinerung der ersten ist, was wahrscheinlich in dem Sinne nicht richtig ist, dass Sie zwar sagen können, dass ein "Ring eine Verallgemeinerung des Feldes" ist, die wichtige Unterscheidung jedoch darin besteht, dass ich dies einen Ring nenne. Ich rufe nichts weiter auf, ohne ein Feld zu inversen.

Was ich noch hinzufügen wollte, ist, dass das, was ich die zweite Grenzwertdefinition nennen werde, einige seltsame Konsequenzen hat, wenn man sie an Stellen wie der Definition/dem Kontinuitätssatz arbeiten lässt. Insbesondere mit dieser Definition von Limit erhalten Sie das F ( X ) = X mit Domäne Q ist stetig, wo immer es definiert ist. Dies ist jedoch nicht etwas, was die Leute im Allgemeinen als kontinuierliche Funktion der Realzahlen betrachten.

@Hurkyl machte einen weiteren wichtigen Punkt, nämlich dass das Problem wirklich darin besteht, dass wir Teilfunktionen ohne den Respekt behandeln, den sie verdienen. Beschränken Sie sich nur auf Funktionen, die total an sind R Alle Probleme verschwinden und die Definitionen werden gleichwertig.

Es ist keine Verallgemeinerung, es ist ein Unterschied. Zum Beispiel führt man zu " X ist stetig bei 0 " und der andere zu " X ist bei Null nicht stetig". Ich sehe beide Optionen als die richtige Antwort auf unterschiedliche Vorstellungen davon, was man vermitteln möchte, indem man sagt, dass eine Teilfunktion an einem Punkt stetig ist.
@hurkyl Ich denke, wir haben vielleicht eine andere Vorstellung von Verallgemeinerung. Alles, was nach der ersten Definition eine Grenze hat, hat auch nach der zweiten Definition eine Grenze, und die Grenzen stimmen überein. Was wäre dann für Sie eine Verallgemeinerung, wenn nicht das? Die Tatsache, dass Sie nicht den gleichen Begriff von Kontinuität erhalten, wenn Sie ihn auf die verschiedenen Versionen von Grenzwerten stützen, scheint zufällig zu sein, wenn Sie die Grenzwertdefinition verwenden, um Kontinuität zu definieren (was meiner Meinung nach falsch ist. Es gibt eine vollkommen gute Definition von Kontinuität aus den ersten Prinzipien .)
Ich betrachte das als eine Art Entscheidung zum Set 0 / 0 = 1 . Sicher, man kann jetzt mehr Dinge aufteilen, aber die alte Art, es undefiniert zu lassen, sagte etwas, was wir eigentlich sagen wollten, und diese Entscheidung ändert das. Ich sage, dass diese beiden unterschiedlichen Definitionen von Grenzwerten leicht unterschiedliche Dinge darüber aussagen, was Grenzwerte für teilweise definierte Funktionen bedeuten. Bsp das " X hat keine Begrenzung auf X = 0 " ist ein absichtliches Merkmal der einen Definition.
@ Hurkyl Ich verstehe, was du sagst. Und es lohnt sich, die Tatsache zu berücksichtigen, dass die topologische Definition von Stetigkeit nicht gut mit der "allgemeineren" Version von Limit zusammenpasst. (Preimage of open ist open bricht offensichtlich nur für definierte Funktionen ab Q Egal wie nett sie sind.)
Wenn Sie diesen Ansatz an Grenzen von Teilfunktionen anpassen möchten, erbt die Domäne Ihrer Teilfunktion die Unterraumtopologie, sodass Sie sich auf die Domäne beschränken und die üblichen Begriffe für Gesamtfunktionen anwenden können.
Dieser spezielle Grenzfall war übrigens einer der Hauptgründe für meinen allgemeinen Ärger darüber, wie Teilfunktionen in der einführenden Mathematik behandelt werden - genauer gesagt, wie sie normalerweise nicht behandelt , aber dennoch allgegenwärtig verwendet werden.
@ hurkyl hmm ja das verstehe ich. Aber jetzt bin ich wirklich verwirrt, was ich eigentlich will. Die Beschränkung der Topologie auf die Domäne erscheint in gewisser Weise etwas zu seltsam. Wie auch immer, ich werde versuchen, einiges davon der Antwort in Kürze hinzuzufügen. Es ist eine interessante Erläuterung einiger Auswirkungen der zweiten Definition.
@ Hurkyl Warum erwägen Sie X Teilfunktion sein? Können wir es nicht als eins mit dem Bereich der nichtnegativen reellen Zahlen statt aller reellen Zahlen betrachten?
@ЮрійЯрош Wenn Sie es so betrachten, verschwinden die Unterschiede zwischen den Definitionen. Beide haben es kontinuierlich bei 0.
@DRF Ich glaube nicht, dass es eine durchlöcherte Nachbarschaft gibt 0 in der Menge der nichtnegativen reellen Zahlen.
@ЮрійЯрошm Wenn Sie Domäne einschränken sagen, ging ich davon aus, dass Sie Speicherplatz einschränken meinen. Eingeschränkte Domain bedeutet nur, dass es teilweise ist (nicht von allen Reals). Wenn Sie das Leerzeichen einschränken, ist [0,a) offen.
@DRF Vielleicht habe ich Sie missverstanden oder den Begriff / die Definition der Teilfunktion falsch verstanden, aber bei der Frage, ob die Funktion partiell ist, geht es darum, ob jedes Mitglied der Domäne einem Mitglied der Codomain zugeordnet ist. Warum sollte also die Quadratwurzelfunktion mit der Domäne von funktionieren? [ 0 , ∞ ) partiell sein?
Entschuldigung, aber ich glaube, Sie haben die zweite und die erste Definition in Ihrem "Bearbeiten" -Teil der Antwort vertauscht. Weil die erste Definition, die ich erwähnt habe, eine mit dem Grenzpunkt war und die zweite mit punktierter Nachbarschaft.
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