Unterschied zwischen diesen beiden Definitionen von Grenzwerten

Ich glaube, Sie haben ein mathematisches Sprachproblem. In der zweiten Definition „$f(x)$ist für alle definiert$x\neq a$“ bedeutet das nicht$f(a)$darf nicht definiert werden. Sie müssen den Satz im weitesten Sinne lesen (wie bei vielen anderen Situationen in der Mathematik, z. B. bei der Verwendung des Wortes „oder“ als logische Verknüpfung). Alles, was wir sagen, ist, dass wir verlangen$f(x)$an jedem anderen Punkt zu definieren als$a$. Bei$a$, verlangen wir nicht, dass die Funktion definiert wird.

Wenn$f$ist definiert bei$a$, dann großartig, gut für dich, (aber der Wert von$f(a)$hat keinen Einfluss auf die Limitdefinition).

Wenn$f$ist bei nicht definiert$a$, dann ist das auch kein Problem.

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Anders gesagt, ich habe den Satz gelesen

"$f(x)$ist für alle definiert$x\neq a$"

als einseitige Implikation

"Wenn$x\neq a$Dann$f(x)$ist definiert",

NICHT als biconditional

"$f(x)$ist genau dann definiert, wenn$x\neq a$"

Der entscheidende Punkt ist, dass wir uns bei der Definition des Grenzwerts nicht um den Grenzwert kümmern, daher kann die Funktion an diesem Punkt definiert werden oder nicht, tatsächlich in der Definition (z. B. für den endlichen Grenzwert):

$$\Big(\lim_{x\rightarrow a} f(x) = L \Big)\iff \Big(\forall \varepsilon >0\, \exists \delta > 0: \forall x\in D\quad 0<\vert x-a\vert <\delta \implies \vert f(x)-L\vert <\varepsilon \Big)$$

die Bedingung$0<\vert x-a\vert <\delta$impliziert, dass wir davon ausgehen$x\neq a$.

Siehe auch die dazugehörigen:

• Warum dürfen wir Brüche in Limits kürzen?