Beweisen Sie, dass das Limit nicht existiert, indem Sie die Epsilon-Delta-Definition verwenden

Question

Beweisen Sie, dass das Limit nicht existiert, indem Sie die Epsilon-Delta-Definition verwenden

Grenzen
Infinitesimalrechnung
Mathematik
Epsilon-Delta

wvxvw

Beweisen $\lim_{x \to 0}\frac{x}{x-\lfloor \sin x \rfloor}$ existiert nicht.

Ich kann dieselbe Behauptung mit Heines Definition beweisen, indem ich diese Sequenzen zeige $\{x_n\}=\frac{\pi}{2n}$ Und $\{x_m\} = -\frac{\pi}{2m}$ gegen 0 konvergieren, aber die Funktionswerte bei diesen Sequenzen divergieren.

Im Beweis aus der Definition komme ich so weit:

Angenommen, die Grenze existiert bei $x_0 = 0$ , dann wähle $\epsilon = \frac{1}{2}$ (Ich weiß, dass dies fehlschlagen sollte, weil es so ist $x$ nähert sich Null von links, es tendiert zu Null und wie $x$ nähert sich Null von rechts, es tendiert zu 1). Seit $x \in (-\sigma, \sigma)$ das sollte gelten:

- \frac{1}{2} < \frac{σ}{σ - ⌊ Sünde σ ⌋} - L < \frac{1}{2} - \frac{1}{2} < \frac{- σ}{⌊ - Sünde σ ⌋ - σ} - L < \frac{1}{2}

$-\frac{1}{2} < \frac{\sigma}{\sigma - \lfloor \sin \sigma \rfloor} - L < \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} < \frac{-\sigma}{\lfloor -\sin \sigma \rfloor -\sigma} -L < \frac{1}{2}$

Hier beginnt mein Problem. Ich glaube, dass ich das aus der ersten Gleichung ableiten müsste $L \geq 1$ und ab dem zweiten: $L \leq 0$ . Aber an diese Werte komme ich nicht ran.

Noch wichtiger ist, dass ich versuche, ein allgemeines Verfahren zur Lösung solcher Fragen zu finden. Hier ist, was ich bisher "entdeckt" habe:

Erraten $\epsilon$ (durch Berechnung mehrerer Werte der Funktion near $x_0$ ).
Annehmen $x \in (-\sigma, \sigma)$ .
Schreiben Sie zwei Ungleichungen: $-\epsilon < f(\sigma) - L < \epsilon$ Und $-\epsilon < f(-\sigma) - L < \epsilon$ .
Wende eine Reihe algebraischer Transformationen auf beide Ungleichungen an, bis ein Widerspruch offensichtlich ist.
Der Beweis ist an dieser Stelle vollständig.

Klingt das nach einem vernünftigen Ansatz?

Rob Artan

Wenn du das wirklich meinst

⌊ \sin x ⌋

$\lfloor \sin x \rfloor$ , dann ist das ziemlich einfach: der Boden aus

\sin x

$\sin x$ Ist

- 1

$-1$ für

x

$x$ nahe und kleiner als

0

$0$ und ist

0

$0$ für

x

$x$ nahe und größer als

0

$0$ . Also links und rechts grenzen an

0

$0$ sind deutlich unterschiedlich.

wvxvw

@RobArthan ja, ich meine Boden. Ich habe das erste Mal getippt, als ich es geschrieben habe. Und ja, ich habe allen Grund zu der Annahme, dass es einfach sein sollte, und dennoch stelle ich diese Frage.

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Wenn du das wirklich meinst $\lfloor \sin x \rfloor$ , dann ist das ziemlich einfach: der Boden aus $\sin x$ Ist $-1$ für $x$ nahe und kleiner als $0$ und ist $0$ für $x$ nahe und größer als $0$ . Also links und rechts grenzen an $0$ sind deutlich unterschiedlich.
@RobArthan ja, ich meine Boden. Ich habe das erste Mal getippt, als ich es geschrieben habe. Und ja, ich habe allen Grund zu der Annahme, dass es einfach sein sollte, und dennoch stelle ich diese Frage.

Rob Artan · Answer 1

Tipp: wann $0 < x < \pi$ , $\lfloor \sin x \rfloor = 0$ , so dass $\frac{x}{x - \lfloor \sin x \rfloor} = 1$ . Wenn $-\pi < x < 0$ , $\lfloor \sin x \rfloor = -1$ , so dass $\frac{x}{x - \lfloor \sin x \rfloor} = \frac{x}{x + 1}$ . Nehmen $\epsilon = \frac{1}{2}$ (sagen) und sehen, ob Sie a finden können $\delta >0$ so dass wann $-\delta < x < 0$ , Dann $\left|\frac{x}{x+1}\right| < \epsilon$ .

Weitere Informationen zur methodischen Frage nach allgemeinen Verfahren zur Lösung dieser Art von Problemen finden Sie in den Kommentaren unten.

Ich muss wahrscheinlich mehr erklären. Da ich das gerade lerne, kämpfe ich damit, ein allgemeines Verfahren zum Lösen solcher Probleme zu finden, also würde ich es wirklich gerne entweder so lösen, wie ich es angestarrt habe, oder herausfinden, dass die Art und Weise, wie ich es zu lösen versuchte, falsch war . Alternative Antworten, die eine einzigartige Eigenschaft dieser Formel verwenden, sind großartig, aber ich würde es begrüßen, wenn sich die Antwort auf die spezifische Art und Weise zur Lösung des Problems bezöge.
Der Punkt ist, dass die Grenze, wie Sie sich nähern $0$ von rechts und die Grenze bei Annäherung von links müssen übereinstimmen. Siehst du warum? In Ihrem Versuch können Sie das also argumentieren $L$ muss sein $1$ weil sie mit der Grenze von rechts übereinstimmen muss. Damit gelangen Sie zum $\epsilon/\delta$ Argument aus "ersten Prinzipien", nach denen Sie suchen. (Es hilft auch, wenn Sie die Bodenfunktion nicht weglassen.)
Ich brauche nur die sehr oberflächliche, algorithmische, wenn Sie so wollen, Herangehensweise an die Lösung dieser Art von Problemen. Ich habe kein Problem zu sehen, warum diese Grenze nicht existiert. Ich habe es gezeichnet und sichergestellt, dass ich vollständig verstehe, wie sich die Funktion verhält usw. Mein Problem liegt in der spezifischen Art und Weise, das Problem zu lösen, nicht in der allgemeinen Lösung (wenn ich es nur lösen wollte, hätte ich es einfach eingegeben) Maxima oder Maple und seien Sie mit dem Ergebnis zufrieden).
Entschuldigung für den ausführlichen Kommentar, vielleicht erklärt es das besser. Vergleichen Sie diese: Sagen Sie, Sie könnten Matrizen multiplizieren, indem Sie erkennen, dass eine der Matrizen diagonalisierbar ist, und so könnten Sie einfach die Eigenwerte für die Multiplikation verwenden (was schneller wäre), oder Sie könnten diese Tatsache ignorieren und einfach das langsame, aber sichere tun Zeile-für-Spalte-Multiplikation. Ich bin mir sicher, dass es einen langsamen, aber sicheren Weg gibt, jedes Limitproblem zu lösen, und das versuche ich zu finden. (Leider sind mein Lehrer und die Lehrbücher dabei wertlos).
Es gibt keinen langsamen, aber sicheren Weg, um ein Limitproblem zu lösen. Das ist nicht nur eine dreiste Behauptung: Die Theorie erster Ordnung der trigonometrischen Funktionen (sagen wir) (oder sogar die Theorie des realen Feldes zusammen mit der Bodenfunktion, die für Ihr Problem relevanter ist) kann sich als unentscheidbar erweisen . Um auf Ihre Frage zurückzukommen, haben Sie versucht, das zu tun, was ich in meinem Hinweis vorgeschlagen habe, dh eine zu finden $\delta > 0$ so dass wann $-\delta < x < 0$ , $\left|\frac{x}{x+1}\right| < 1/2$ ?
Ja, aber das hilft nicht. Ich muss wissen, was und ob ich falsch gemacht habe.
Bearbeiten Sie Ihre Frage, um zu erklären, was Sie getan haben und warum es nicht geholfen hat.
Konkreter: Hier wenden Sie den "Trick" an, der es Ihnen ermöglicht, langsame, aber sichere Berechnungen zu vermeiden, wenn Sie Wert für ersetzen $\lfloor sin x \rfloor$ weil Sie wissen, wie sich die Funktion im gesamten Bereich verhält $(-\sigma, \sigma)$ , aber ein Computer würde das nicht wissen und darf dies nicht basierend auf wenigen Werten annehmen, die er berechnen kann, daher wäre es kein zulässiger langsamer, aber sicherer Ansatz.
Wie gesagt, das generelle Problem ist nicht entscheidbar, dh den langsam-aber-sicher effektiv berechenbaren Ansatz gibt es nicht . Ihr Ansatz kann eine nützliche Heuristik sein, und Sie würden ihn in diesem Fall zum Laufen bringen, indem Sie die algebraischen Vereinfachungen korrekt durchführen.
Nicht streiten, aber wie lösen Systeme wie Maple, Mathematica oder Maxima Grenzen? Ich bin sicher, sie verwenden auch Heuristiken. Aber vielleicht gibt es einige Einschränkungen für das Problem, die eine Teilmenge davon entscheidbar machen? Schließlich gibt es in der Informatik viele alltägliche Dinge, die unentscheidbar sind, die aber regelmäßig in unternehmenskritischen Systemen zum Einsatz kommen.
Sicher, es gibt viele entscheidbare Unterklassen dieser Art von Problemen, und Computeralgebrasysteme haben viele sehr gute Heuristiken zur Berechnung von Grenzwerten. Computeralgebrasysteme produzieren nicht $\epsilon/\delta$ Beweise, und das ist es, wonach Sie gefragt haben. Ich denke, Sie tun gut daran, eine "weiche" allgemeine Frage zur Automatisierung zu stellen $\epsilon/\delta$ Beweise, ob es das ist, woran Sie wirklich interessiert sind - um sich nicht in den Details dieses speziellen Beispiels zu verzetteln.
Nun, Turings universelle Berechnungsthese impliziert, dass, wenn jemand, der so mathematisch herausgefordert ist wie ich, ein Verfahren zur Lösung dieses Problems anwenden kann (und soll), (ich soll lernen, dh ein Muster für den Umgang mit ähnlichen Problemen entwickeln!), dann sollte ein digitaler Computer das auch! :) Wie auch immer, das wurde nicht im Ernst gesagt! Ich weiß Ihre Zeit und Mühe sehr zu schätzen, die Sie in seine Beantwortung gesteckt haben, daher werde ich Ihre Antwort akzeptieren, auch wenn ich damit nicht zufrieden bin. :)

mathcounterexamples.net · Answer 2

Warum verwenden Sie nicht wieder Ihre Sequenzen, um einen Widerspruch abzuleiten? $L$ Wert?

Oder eine andere Idee, wissen Sie $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ ?

Ich wette, ich würde es tun, wenn ich wüsste, wie, aber danke für den Versuch :)
Entschuldigung, mir ist gerade aufgefallen, dass ich mich beim Schreiben der ursprünglichen Formel vertippt habe. Verzeihung. Und ja, ich kenne den Grenzwert des Sinus von x dividiert durch x, aber das hilft nicht wirklich, weil ich einen bestimmten Weg brauche, um es zu beweisen, nicht irgendeinen Weg, und ich habe Probleme mit diesem bestimmten Weg.

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