Beweise, dass limx→∞xsin2xlimx→∞xsin2⁡x\lim\limits_{x \to \infty} x \sin^2 x nicht existiert.

Question

Beweise, dass limx→∞xsin2xlimx→∞xsin2⁡x\lim\limits_{x \to \infty} x \sin^2 x nicht existiert.

Grenzen
Infinitesimalrechnung
Mathematik
Epsilon-Delta
Lösungsverifikation

Iovita Kemény

Ich muss beweisen $\lim\limits_{x \to \infty} x \sin^2 x$ existiert nicht, und bitte um Ihre Hilfe, um zu überprüfen, ob mein Argument richtig ist. Ich bin einigermaßen anständig im Machen $\epsilon-\delta$ Argumente, aber zu beweisen, dass es keine Grenze gibt, war tatsächlich ein bisschen herausfordernd.

Wir müssen beweisen $\lim\limits_{x \to \infty} x \sin^2 x \neq \ell$ , für jeden $\ell \in \mathbb{R}$ , so nimm $\ell \in \mathbb{R}$ . Das Ergebnis folgt, wenn wir welche finden können $\epsilon > 0$ so dass für jeden $N \in \mathbb{R}$ , es gibt einige echte $x$ so dass $x > N$ Aber $\lvert x \sin^2 x - \ell \rvert \geq \epsilon$ .

Wenn $\epsilon =\lvert \ell \rvert + 1$ , dann für alle $N \in \mathbb{R}$ wir können finden $x_0 > \max(N, \quad 2\lvert \ell \rvert + 1)$ so dass $x_0 = \cfrac{\pi}{2} + 2\pi k$ , für einige groß genug $k \in \mathbb{Z}$ . Dafür $x_0$ wir haben das

X_{0} {Sünde}^{2} X_{0} = X_{0} \cdot 1 = X_{0} > 2 | ℓ | + 1 \geq 1 + | ℓ | + ℓ

$x_0 \sin^2 x_0 = x_0 \cdot 1 = x_0 > 2\lvert \ell \rvert + 1 \geq 1 + \lvert \ell \rvert + \ell$ . Dies impliziert

x_{0} \sin^{2} x_{0} - ℓ = x_{0} - ℓ > 1 + | ℓ | = ϵ

$x_0 \sin^2 x_0 - \ell = x_0 - \ell > 1 + \lvert \ell \rvert = \epsilon$ und der Beweis ist vollständig.

Alle Kommentare oder Verbesserungsvorschläge sind sehr willkommen.

Robert Ufer

Dies beweist, dass es keine endliche Grenze haben kann. Es ist auch möglich, darüber zu sprechen, ob das Limit ist

\infty

$\infty$ . Kennen Sie diese Definition? Das geht in diesem Fall auch nicht. Können Sie sehen, warum?

Iovita Kemény

@RobertShore Ja, ich kenne die Definition und ja, Sie haben Recht, sie deckt diesen Fall nicht ab. Ich denke jedoch, dass es intuitiv klar ist, warum das Limit nicht gilt

\infty

$\infty$ : Egal wie groß die Zahl ist

L

$L$ finden wir immer

x_{1} = 2 π k

$x_1 = 2\pi k$ , für ein großes

k \in Z

$k \in \mathbb{Z}$ , wodurch die Funktion auf Null zurückgesetzt wird. Ich denke, ich kann dieses Argument formalisieren.

Robert Ufer

Gut. Also würde ich das formalisieren und es Ihrem Beweis hinzufügen.

Iovita Kemény

@RobertShore Ja, danke.

Antworten (2)

Beweise, dass limx→∞xsin2xlimx→∞xsin2⁡x\lim\limits_{x \to \infty} x \sin^2 x nicht existiert.

Dies beweist, dass es keine endliche Grenze haben kann. Es ist auch möglich, darüber zu sprechen, ob das Limit ist $\infty$ . Kennen Sie diese Definition? Das geht in diesem Fall auch nicht. Können Sie sehen, warum?
@RobertShore Ja, ich kenne die Definition und ja, Sie haben Recht, sie deckt diesen Fall nicht ab. Ich denke jedoch, dass es intuitiv klar ist, warum das Limit nicht gilt $\infty$ : Egal wie groß die Zahl ist $L$ finden wir immer $x_1 = 2\pi k$ , für ein großes $k \in \mathbb{Z}$ , wodurch die Funktion auf Null zurückgesetzt wird. Ich denke, ich kann dieses Argument formalisieren.
Gut. Also würde ich das formalisieren und es Ihrem Beweis hinzufügen.

Martin Argerami · Answer 1

Ihr Argument ist in Ordnung, obwohl Sie, wie in den Kommentaren erwähnt, nicht die Möglichkeit ansprechen, dass die Grenze unendlich ist.

Hier ist eine etwas einfachere Idee. Gegebenenfalls $k>0$ , Dann $x_k=\frac\pi2+2k\pi>k$ Und $x_k\sin^2x_k=x_k>k$ . Auch $z_k=2k\pi>k$ Und $z_k\sin^2z_k=0$ . So

lim_{k \to \infty} X_{k} {Sünde}^{2} X_{k} = \infty,

$\lim_{k\to\infty}x_k\sin^2x_k=\infty,$ während

lim_{k \to \infty} z_{k} {Sünde}^{2} z_{k} = 0.

$\lim_{k\to\infty}z_k\sin^2z_k=0.$ Dies schließt die Existenz der Grenze (endlich oder unendlich) aus, da, wenn sie existierte, alle Folgen, die ins Unendliche gehen, dieselbe Grenze ergeben würden.

Paul Frost · Answer 2

Dies ist nur eine Variation von Martin Argeramis Antwort. Er konstruierte eine Sequenz $(x_k)$ so dass $\lim_{k\to\infty}x_k\sin^2x_k=\infty$ . Lassen Sie uns das für jeden zeigen $a \in [0,\infty)$ es gibt eine Folge $(y_k)$ so dass

lim_{k \to \infty} j_{k} {Sünde}^{2} j_{k} = A .

$\lim_{k\to\infty}y_k\sin^2y_k=a .$

Wir haben $\sin^2 x = 0$ für $x = m\pi$ Und $\sin^2 x = 1$ für $x = \pi/2 + m\pi$ für alle $m \in \mathbb Z$ . Also durch die IVT die Funktion $f(x) = x \sin^2x$ bildet das Intervall ab $[m\pi, \pi/2 + m\pi]$ auf das Intervall $[0,\pi/2 + m\pi]$ . Daher für $m \ge m_0 = \max(0,(a-2)/\pi)$ Wir finden einen Punkt $y_m \in [m\pi, \pi/2 + m\pi]$ so dass $f(y_m) = a$ . Lassen $y_m = m\pi$ für $m < m_0$ . Dann klar $y_m \to \infty$ als $m \to \infty$ Und $\lim_{m\to\infty}y_m\sin^2y_m=a$ .

Beweise, dass limx→∞xsin2xlimx→∞xsin2⁡x\lim\limits_{x \to \infty} x \sin^2 x nicht existiert.

Iovita Kemény

Robert Ufer

Iovita Kemény

Robert Ufer

Iovita Kemény

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Martin Argerami

Paul Frost

Kritiker der Elche

Was ist, wenn ϵϵ\epsilon in der ϵϵ\epsilon-δδ\delta-Definition von Grenzen unendlich ist?

δδ\delta-Response für Anfechtung von limx→101[[x]]=110limx→101[[x]]=110\lim_{x \to 10} \frac{1}{[[x]]} = \frac {1}{10} mit ϵ=12ϵ=12\epsilon=\frac{1}{2}

Finden der Grenze anhand des Beispiels ihrer Epsilon-Delta-Definition

Beweisen Sie, dass das Limit nicht existiert, indem Sie die Epsilon-Delta-Definition verwenden

Kann xxx in der Definition von δδ\delta in einem ϵ−δϵ−δ\epsilon-\delta Grenzwertnachweis vorkommen?

ϵϵ\epsilon - δδ\delta Grenzwertdefinition - kleineres ϵϵ\epsilon impliziert kleineres δδ\delta?

Beweisen Sie, dass der Grenzwert lim(x,y)→(0,0)y43x2+y2√cos(1x)lim(x,y)→(0,0)y43x2+y2cos⁡(1x)\lim_{(x,y). )\to(0,0)} \frac{y^4}{\sqrt{3x^2+y^2}}\cos(\frac{1}{x}) existiert mit ϵ und δϵ und δ\epsilon \text{ und } \delta-Definition

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