δδ\delta-Response für Anfechtung von limx→101[[x]]=110limx→101[[x]]=110\lim_{x \to 10} \frac{1}{[[x]]} = \frac {1}{10} mit ϵ=12ϵ=12\epsilon=\frac{1}{2}

$\newcommand{\absval}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}$

Ich studiere im Selbststudium Real Analysis von Stephen Abbott Understanding Analysis. Ich möchte fragen, ob meine Schlussfolgerungen in Bezug auf Übung (a), (b) des folgenden Problems richtig sind.

Notation.$f(x)= [[x]]$ist die Box-Funktion, die größte ganze Zahl kleiner oder gleich$x$, für alle$x \in \mathbf{R}$.

Übung 4.2.4. Betrachten Sie die vernünftige, aber falsche Behauptung, dass

$$\begin{align*} \lim_{x \to 10} \frac{1}{[[x]]} = \frac{1}{10} \end{align*}$$

(a) Finden Sie den größten$\delta$das stellt eine angemessene Antwort auf die Herausforderung dar$\epsilon = 1/2$.

(b) Finden Sie den größten$\delta$das stellt eine angemessene Antwort dar$\epsilon = 1/50$.

(c) Finden Sie den größten$\epsilon$Herausforderung, für die es nichts Passendes gibt$\delta$Antwort möglich.

Nachweisen.

(a) Wir verlangen

$$\begin{align*} \frac{1}{10} - \frac{1}{2} &< \frac{1}{[[x]]} &< \frac{1}{10} + \frac{1}{2} \\ \frac{-4}{10} &< \frac{1}{[[x]]} &< \frac{6}{10} \end{align*}$$

So,$[[x]] < \frac{-10}{4} < -2$Und$[[x]]>\frac{10}{6} > 1$. Mit anderen Worten,$x-10 < -12$Und$x-10>-8$. Der absolute Abstand muss die Ungleichung erfüllen$\absval{x - 10} < 8$. Also das Größte$\delta-$Antwort auf die Herausforderung$\epsilon=1/2$scheint zu sein$\delta = 8$.

(b) Wir verlangen

$$\begin{align*} \frac{1}{10} - \frac{1}{50} &< \frac{1}{[[x]]} &< \frac{1}{10} + \frac{1}{50} \\ \frac{4}{50} &< \frac{1}{[[x]]} &< \frac{6}{50} \end{align*}$$

So,$[[x]] < \frac{50}{4} < 13$Und$[[x]]>\frac{50}{6} > 8$. Mit anderen Worten,$x < 13$oder$x >9$. Der absolute Abstand muss die Ungleichung erfüllen$\absval{x - 10} < 1$. Also das Größte$\delta-$Antwort auf die Herausforderung$\epsilon=1/50$scheint zu sein$\delta = 1$.

(c) Wir möchten den Abstand haben

$$\begin{align*} \absval{\frac{1}{[[x]]} - \frac{1}{10}} > \epsilon \end{align*}$$

egal was das offene Intervall$(10-\delta,10+\delta)$in welchem$x$Lügen. Umstellen erhalte ich:

$$\begin{align*} \epsilon < \frac{\absval{[[x]] - 10}}{10 \absval{[[x]]}} \end{align*}$$

Ich bin mir nicht sicher, wie ich von hier aus fortfahren soll. Ich weiß, dass,$\absval{[[x]] - 10}$. Das ergibt,

$$\begin{align*} \epsilon < \frac{\delta}{10 \absval{[[x]]}} \end{align*}$$

Ich kann weiter schreiben,$[[x]] > \lceil{10 - \delta}\rceil$. Aber dieses$\epsilon$ist abhängig von der$\delta$-Intervall wähle ich.