Beweisen Sie, dass der Grenzwert lim(x,y)→(0,0)y43x2+y2√cos(1x)lim(x,y)→(0,0)y43x2+y2cos⁡(1x)\lim_{(x,y). )\to(0,0)} \frac{y^4}{\sqrt{3x^2+y^2}}\cos(\frac{1}{x}) existiert mit ϵ und δϵ und δ\epsilon \text{ und } \delta-Definition

Hinweis:$\left|\frac{y^4}{\sqrt{3x^2+y^2}}\right|\leqslant |y^3|$

Zusatz:

Lass uns nehmen$\forall \varepsilon >0$. Da wir eine Grenze haben$(x,y)\to (0,0)$, dann sollten wir finden$\delta>0$, so dass$\sqrt{x^2+y^2}< \delta$impliziert$|f|<\varepsilon$. Wie wir haben$|y|\leqslant \sqrt{x^2+y^2}< \delta$, dann gibt es das$\delta^3<\varepsilon$reicht.

Hinweis :

Beachten Sie das$y^2 \le x^2 +y^2$So$y^4 \le (x^2 + y^2)^2$.

Auch$3x^2 +y^2 \ge x^2 +y^2$was das impliziert$\frac{1}{\sqrt{3x^2 + y^2}} \le \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$

Wenn wir beides kombinieren, erhalten wir

$$\frac{y^4}{\sqrt{3x^2 + y^2}} \le \frac{(x^2+y^2)^2}{\sqrt{x^2+y^2}} = (x^2+y^2)\sqrt{(x^2+y^2)}$$

Also für gegeben$\epsilon > 0$du kannst wählen$\delta <\sqrt[3]{\epsilon}$um den Beweis abzuschließen.