Grenze lim(x,y)→(0,0)sin(x2−y2)x2−y2lim(x,y)→(0,0)sin⁡(x2−y2)x2−y2\lim\limits_{(x ,y)\to(0,0)}\frac{\sin(x^2-y^2)}{x^2-y^2}

Sie können hier Polarkoordinaten verwenden. Satz$x=r\cos\theta$,$y=r\sin\theta$, dann beachte das$x^2-y^2=r^2\cos 2\theta$. Dann wird die Grenze

$$\lim_{r \to 0} \frac{\sin (r^2\cos 2\theta)}{r^2\cos 2 \theta}.$$

Klar muss man den Fall ausschließen$\theta=\pm \pi/4$Weil$f$ist dort nicht definiert, auch wenn man versuchen kann, es durch Stetigkeit zu erweitern.

Wir haben die Ungleichheit$z - z^3/6 \leqslant \sin z \leqslant z$für$z > 0$.

Daher z$x > y$

$$1 - \frac{(x^2 - y^2)^2}{6} \leqslant \frac{\sin (x^2 - y^2)}{x^2 - y^2} \leqslant 1,$$

und nach dem Squeeze-Theorem ist die Grenze$1$als$(x,y) \to (0,0)$mit$x > y.$

Ebenso z$y > x$

$$1 - \frac{(y^2 - x^2)^2}{6} \leqslant \frac{\sin (y^2 - x^2)}{y^2 - x^2} = \frac{\sin (x^2 - y^2)}{x^2 - y^2} \leqslant 1,$$

und nach dem Squeeze-Theorem ist die Grenze$1$als$(x,y) \to (0,0)$mit$y > x.$

Die Ungleichheit zeigt das auch so$x \to y$mit$y$Fest,

$$\lim_{x \to y} \frac{\sin (x^2 - y^2)}{x^2 - y^2} = 1,$$

und, obwohl die oben geschriebene Funktion für undefiniert ist$x = y,$es kann stufenlos erweitert werden$1$auf dieser Linie.

Technisch mit$f(x,y) = \sin(x^2 - y^2) /( x^2 - y^2),$du würdest sagen

$$\lim_{(x,y) \to (0,0), x \neq y} f(x,y) = 1,$$

Und$f$kann kontinuierlich zu einer Funktion erweitert werden$\hat{f}$An$\mathbb{R}^2$so dass

$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \hat{f}(x,y) = 1.$$

Erinnern Sie sich an die elementare Geometrie, dass die Sinusfunktion die Ungleichungen erfüllt

$$|\theta\cos(\theta)|\le |\sin(\theta)|\le |\theta|$$

für$|\theta|\le \pi/2$.

Vermietung$\theta =x^2-y^2$wir können schreiben

$$|\cos(x^2-y^2)|\le\left|\frac{\sin(x^2-y^2)}{x^2-y^2}\right|\le|1|$$

woraufhin das Squeeze-Theorem angewendet und die Gleichmäßigkeit von ausgenutzt wird$\frac{\sin(z)}{z}$ergibt die Grenze

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(x^2-y^2)}{x^2-y^2}=1$$