Warum sollte diese multivariable Grenze existieren?

Betrachten Sie die Grenze

lim ( X , j ) → ( 0 , 0 ) T A N − 1 ( X j ) X j

Mein Argument dafür, warum die Grenze nicht existiert: Sie existiert nicht entlang des Pfades j = 0 . Oder, in einer anderen Ansicht, T A N − 1 ( X j ) X j ist auf unendlichen Punkten in jeder Umgebung von undefiniert ( 0 , 0 ) .

Aber bei vielen Fragen wie dieser wird die obige Argumentation ignoriert, und wir gehen mit anderen Techniken vor. (So: Kalkül Sündengrenze mit zwei Variablen [Mehrvariablen-Kalkül] ) Aber wie ist das gültig? Kann der Grenzwert mit der Funktion undefiniert in so vielen Punkten um den gegebenen Punkt herum existieren?

Im Allgemeinen beschränken Sie Ihre Aufmerksamkeit implizit auf Pfade, die sich nähern ( 0 , 0 ) liegen aber im Wirkungsbereich der Funktion. In diesem Fall gibt es auch die Tatsache, dass die Funktion zwar mitgeschrieben ist, aber sicherlich undefiniert ist X = 0 oder j = 0 , das sind alles entfernbare Diskontinuitäten.
Die Grenze sollte also nicht wie geschrieben existieren. Aber wir ignorieren solche Pfade, wenn die Diskontinuitäten entfernbar sind? (z. B. in diesem Fall können wir die Funktion als definieren 1 Wenn X j = 0 ).
Ob die Grenze so existiert, wie sie geschrieben steht, hängt von der Definition der Grenze ab, die von Text zu Text unterschiedlich sein kann, aber Nick Petersons Kommentar deckt einen pragmatischen und gemeinsamen Ansatz ab, den Mathematiker verfolgen könnten.
OK habe es. Danke: D.
Ja, wie die Leute gesagt haben - normalerweise betrachten wir nur die Punkte, die innerhalb der Domäne der Funktion liegen
Ist das bräunen − 1 ⁡ ( X j ) oder bräunen − 1 ⁡ ( X ) ⋅ j ? Versuchen Sie, mehrdeutige Schreibweisen wie diese zu vermeiden.

Antworten (1)

Hier ist eine Definition für Grenzen:

Lassen X , Y metrische Räume sein, E ⊆ X , F : X → Y eine Funktion sein, und A ein Grenzpunkt von sein E . Wir sagen die Funktion F hat eine Grenze bei A (Im Weltall Y ), wenn folgende Bedingung erfüllt ist:

  • Es existiert l ∈ Y so dass für jeden ϵ > 0 , es existiert ein δ > 0 so dass für alle X ∈ E , Wenn 0 < D X ( X , A ) < δ Dann D Y ( F ( X ) , l ) < ϵ .

In diesem Fall können wir beweisen l ist einzigartig und wir schreiben lim X → A F ( X ) = l

Beachten Sie bei dieser Formulierung von Grenzwerten, dass die Funktion F muss nicht auf dem gesamten Raum definiert werden X . Es muss nur für eine bestimmte Teilmenge definiert werden E (es ist sehr gut möglich, dass X ∖ E ist eine unendliche Menge, aber das spielt keine Rolle). Außerdem der Punkt, A , wo wir das Limit berechnen, muss nicht einmal ein Element von sein E ; wir brauchen nur A ein Grenzpunkt von sein E .

In Ihrem Fall übernehmen wir X = R 2 , Y = R (beide mit den üblichen euklidischen Metriken) und E = { ( X , j ) ∈ R 2 | X j ≠ 0 } . In diesem Fall definieren wir F : E → Y = R von F ( X , j ) = arctan ⁡ ( X j ) X j , und der Punkt ( 0 , 0 ) ist sicherlich ein Grenzpunkt der Menge E . Daher können wir sicherlich versuchen, die Grenze zu berechnen (und in diesem Fall existiert die Grenze und ist gleich 1 ... wenn Sie weitere Erläuterungen dazu benötigen, lassen Sie es mich wissen)

Warum sollte diese multivariable Grenze existieren?
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