Problem bei stetigen Funktionen

Question

Problem bei stetigen Funktionen

Kontinuität
Mathematik
Epsilon-Delta
Realanalyse
Lösungsverifikation

Quasar

Ich lerne Real Analysis anhand des Textes „ Understanding Analysis“ von Stephen Abbott . Ich möchte, dass jemand meine Lösung zu Aufgabe 4.3.6 überprüft und kommentiert, ob meine Arbeit erfolgreich ist und ob es keine technischen Fehler gibt. Gibt es auch Hinweise, wie mit (d) fortzufahren ist?

[Abbott, 4.3.6] Geben Sie jeweils ein Beispiel an oder erklären Sie, warum die Anforderung nicht möglich ist.

(a) Zwei Funktionen $\displaystyle f$ Und $\displaystyle g$ , von denen keine stetig ist $\displaystyle 0$ , aber so $\displaystyle f( x) g( x)$ Und $\displaystyle f( x) +g( x)$ sind kontinuierlich bei $\displaystyle 0$ .

(b) Eine Funktion $\displaystyle f( x)$ kontinuierlich bei $\displaystyle 0$ Und $\displaystyle g( x)$ nicht kontinuierlich bei $\displaystyle 0$ so dass $\displaystyle f( x) +g( x)$ ist stetig bei $\displaystyle 0$ .

(c) Eine Funktion $\displaystyle f( x)$ ist stetig bei $\displaystyle 0$ Und $\displaystyle g( x)$ nicht kontinuierlich bei $\displaystyle 0$ , so dass $\displaystyle f( x) \cdot g( x)$ ist stetig bei $\displaystyle 0$ .

(d) Eine Funktion $\displaystyle f( x)$ nicht kontinuierlich bei $\displaystyle 0$ so dass $\displaystyle f( x) +\frac{1}{f( x)}$ ist stetig bei $\displaystyle 0$ .

(e) Eine Funktion $\displaystyle f( x)$ nicht kontinuierlich bei $\displaystyle 0$ so dass $\displaystyle [ f( x)]^{3}$ ist stetig bei $\displaystyle 0$ .

Lösung.

(a) Bedenke

\begin{array}{cc} F (X) & = {\begin{cases} X^{2} + 3 & Wenn X \neq 0 \\ 2 & Wenn X = 0 \end{cases} \\ G (X) & = {\begin{cases} X + 2 & Wenn X \neq 0 \\ 3 & Wenn X = 0 \end{cases} \end{array}

$\begin{equation*} \begin{array}{ c c } f( x) & =\begin{cases} x^{2} +3 & \text{if } x\neq 0\\ 2 & \text{if } x=0 \end{cases}\\ g( x) & =\begin{cases} x+2 & \text{if } x\neq 0\\ 3 & \text{if } x=0 \end{cases} \end{array} \end{equation*}$ Dann,

lim_{x \to 0} [f (x) + g (x)] = lim_{x \to 0} (x^{2} + x + 5) = 5

$\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}[ f( x) +g( x)] =\lim _{x\rightarrow 0}\left( x^{2} +x+5\right) =5$ . Darüber hinaus,

f (0) + g (0) = 5

$\displaystyle f( 0) +g( 0) =5$ . Auch,

lim_{x \to 0} f (x) \cdot g (x) = lim_{x \to 0} (x^{2} + 3) (x + 2) = 6

$\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0} f( x) \cdot g( x) =\lim _{x\rightarrow 0}\left( x^{2} +3\right)( x+2) =6$ Und

f (0) \cdot g (0) = 6

$\displaystyle f( 0) \cdot g( 0) =6$ .

(b) Diese Anfrage ist unmöglich. Annehmen, dass $\displaystyle f( x) +g( x)$ ist stetig bei $\displaystyle 0$ Und $\displaystyle f( x)$ ist stetig bei $\displaystyle 0$ . Deshalb, $\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0} f( x) +g( x) =f( 0) +g( 0)$ Und $\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0} f( x) =f( 0)$ . So, $\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0} g( x) =\lim _{x\rightarrow 0} f( x) +g( x) -f( x) =\lim _{x\rightarrow 0}( f( x) +g( x)) -\lim _{x\rightarrow 0} g( x) =f( 0) +g( 0) -f( 0) =g( 0)$ . Folglich, $\displaystyle g( x)$ ist stetig bei $\displaystyle 0$ .

(c) Betrachten $\displaystyle f( x) =x$ , $\displaystyle g( x) =\frac{1}{x}$ . Dann, $\displaystyle f( x) \cdot g( x) =1$ die stetig bei ist $\displaystyle 0$ .

(D) $\star$ MACHEN. Mir fällt hier kein Beispiel ein.

(e) Diese Anfrage ist unmöglich. Annehmen, dass $\displaystyle f( x)$ ist bei nicht stetig $\displaystyle 0$ . Es existiert also $\displaystyle \epsilon >0$ , für alle $\displaystyle \delta >0$ , so dass wann immer $\displaystyle | x| < \delta$ , wir haben $\displaystyle | f( x) -f( 0)| >\epsilon$ .

Betrachten Sie die Entfernung $\displaystyle \left| f( x)^{3} -f( 0)^{3}\right| =| f( x) -f( 0)| \cdot \left| f( x)^{2} -f( x) \cdot f( 0) +f( 0)^{2}\right|$ .

\begin{aligned} | F (X)^{3} - F (0)^{3} | & = | F (X) - F (0) | \cdot | F (X)^{2} - F (X) \cdot F (0) + F (0)^{2} | \\ = | F (X) - F (0) | \cdot | {(F (X) - \frac{F (0)}{2})}^{2} + \frac{3}{4} F (0)^{2} | \\ \geq \frac{3}{4} F (0)^{2} \cdot | F (X) - F (0) | = \frac{3}{4} F (0)^{2} \cdot ϵ \end{aligned}

$\begin{equation*} \begin{array}{ r l } \left| f( x)^{3} -f( 0)^{3}\right| & =| f( x) -f( 0)| \cdot \left| f( x)^{2} -f( x) \cdot f( 0) +f( 0)^{2}\right| \\ & =| f( x) -f( 0)| \cdot \left| \left( f( x) -\frac{f( 0)}{2}\right)^{2} +\frac{3}{4} f( 0)^{2}\right| \\ & \geq \frac{3}{4} f( 0)^{2} \cdot | f( x) -f( 0)| =\frac{3}{4} f( 0)^{2} \cdot \epsilon \end{array} \end{equation*}$ Es existiert also eine

ϵ^{'} = \frac{3}{4} f (0)^{2} \cdot ϵ

$\displaystyle \epsilon '=\frac{3}{4} f( 0)^{2} \cdot \epsilon$ , für alle

δ > 0

$\displaystyle \delta >0$ , so dass wann immer

| x | < δ

$\displaystyle | x| < \delta$ , wir haben

| f (x)^{3} - f (0)^{3} | > ϵ^{'}

$\displaystyle \left| f( x)^{3} -f( 0)^{3}\right| >\epsilon '$ .

Folglich, $\displaystyle [ f( x)]^{3}$ ist bei nicht stetig $\displaystyle 0$ .

Antworten (2)

Problem bei stetigen Funktionen

Jose Carlos Santos · Answer 1

(a) Das ist in Ordnung.

(b) Das ist auch in Ordnung.

(c) Seit $g$ ist bei undefiniert $0$ , es ist dort weder kontinuierlich noch diskontinuierlich. Nehmen $f(x)=0$ und lass $g$ Sei irgendeine Funktion, die bei unstetig ist $0$ .

(d) Nehmen

F (X) = {\begin{cases} 2 & Wenn X ⩾ 0 \\ \frac{1}{2} & ansonsten. \end{cases}

$f(x)=\begin{cases}2&\text{ if }x\geqslant0\\\frac12&\text{ otherwise.}\end{cases}$ Dann

f

$f$ ist diskontinuierlich bei

0

$0$ , Aber

f + \frac{1}{f}

$f+\frac1f$ ist konstant.

(e) Verwenden Sie einfach die Tatsache, dass $x\mapsto\sqrt[3]x$ stetig ist und das, wenn eine Funktion $g$ ist stetig bei $a$ und eine Funktion $g$ ist stetig bei $f(a)$ , Dann $g\circ f$ ist auch stetig bei $a$ .

Um pedantisch zu sein: In (e) können wir nicht unbedingt die Tatsache verwenden, dass die Zusammensetzung zweier stetiger Funktionen stetig ist, da $f^3$ ist nur stetig at gegeben $0$ . (Wenn wir kontrapositiv vorgehen.)
@AryamanMaithani Das ist eine nette Bemerkung. Ich habe meine Antwort bearbeitet.

Aryaman Maithani · Answer 2

(a) - (b) scheinen in Ordnung zu sein.

Ein einfacheres Beispiel für (a) könnte die Übernahme der Funktion sein $f$ welches ist $1$ bei rationalen u $-1$ bei Irrationalen und let $g = -f$ . Dann ist die Summe identisch $0$ und das Produkt ist identisch $-1$ .

(c) Wie die andere Antwort zeigt, Ihre Funktion $g$ ist bei nicht definiert $0$ . Weisen Sie ihm einen beliebigen Wert zu $0$ und dann bist du fertig.

Zu (e): Sie haben die Stetigkeitsdefinition falsch verneint.
Richtig wäre folgendes: Es existiert $\epsilon > 0$ so dass für alle $\delta > 0$ , es gibt welche $x$ mit $|x| < \delta$ Und $|f(x) - f(0)| \geqslant \epsilon$ .

Die Schlussfolgerung ist jedoch richtig. Hier ist eine alternative Vorgehensweise: Verwenden Sie die Tatsache, dass die Funktion $x \mapsto \sqrt[3]{x}$ ist durchgehend an $\Bbb R$ und diese Kontinuität verhält sich gut mit der Komposition.

Für (d): Hier ist ein Beispiel.
Beachten Sie, dass die Gleichung

T + \frac{1}{T} = 4

$t + \frac1t = 4$ hat zwei unterschiedliche positive Lösungen, sagen wir

t_{1}

$t_1$ Und

t_{2}

$t_2$ .

Definieren

F (X) = {\begin{cases} T_{1} & X \in Q, \\ T_{2} & X \notin Q . \end{cases}

$f(x) = \begin{cases} t_1 & x \in \Bbb Q, \\ t_2 & x \notin \Bbb Q. \end{cases}$ (

Q

$\Bbb Q$ ist die Menge der rationalen Argumente.)

Dann, $f$ ist bei nicht stetig $0$ . (Warum?)
Allerdings

F (X) + \frac{1}{F (X)} = 4

$f(x) + \frac{1}{f(x)} = 4$ für alle

x \in R

$x \in \Bbb R$ und somit ist das obige kontinuierlich bei

0

$0$ .

Zum OP: Wenn $f,g$ sind kontinuierlich bei $x$ dann sind es auch $f+g,f-g, fg,$ Und $kf$ für jede Konstante $k.$ Wenn $f,g$ sind kontinuierlich bei $x$ Und $g(x)\ne 0$ Dann $f/g$ ist stetig bei $x.$

Problem bei stetigen Funktionen

Quasar

Antworten (2)

Jose Carlos Santos

Aryaman Maithani

Jose Carlos Santos

Aryaman Maithani

Daniel Wainfleet

δδ\delta-Response für Anfechtung von limx→101[[x]]=110limx→101[[x]]=110\lim_{x \to 10} \frac{1}{[[x]]} = \frac {1}{10} mit ϵ=12ϵ=12\epsilon=\frac{1}{2}

Ist x−−√,x∈[0,1]x,x∈[0,1]\sqrt{x}, x\in [0,1] absolut stetig?

Der Beweis, dass wenn f(x) bei x=c stetig ist, dann 1/f(x) bei x=c stetig ist

Wie kann man beweisen, dass die Umkehrung einer stetig streng monoton steigenden Funktion stetig ist? (Terence-Tao-Analyse 1, Satz 9.8.3)

Würde der folgende Beweis, dass eine stetige Funktion fff aus einem kompakten Raum X→YX→YX\rightarrow Y gleichmäßig stetig ist, fehlschlagen?

Umkehrfunktion f−1:f(R)→Rf−1:f(R)→Rf^{-1}:f(\mathbb{R})\to\mathbb{R} einer streng steigenden Funktion f:R →Rf:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R} ist stetig

Beweis, dass das Supremum einer Folge stetiger Funktionen stetig ist

Bildet eine stetige Funktion Cauchy-Folgen auf Cauchy-Folgen ab?

Topologische Charakterisierung der Kontinuität

Funktionskontinuität - Nachweisprüfung