Beweis, dass das Supremum einer Folge stetiger Funktionen stetig ist

Ich lerne Real Analysis aus dem Buch „ Understanding Analysis“ von Stephen Abbott . Aufgabe 4.3.10 verlangt den Beweis bestimmter Tatsachen über das Supremum einer Folge stetiger Funktionen. Ich möchte, dass jemand meine Lösung für Teil (a) des Problems überprüft und Hinweise (Spoiler) liefert, aber nicht den vollständigen Beweis für Teil (b) des Problems.

Aufgabe 4.3.10 Beachten Sie, dass if$a$Und$b$sind also reelle Zahlen

$$\max \{a,b\}=\frac{1}{2}[(a+b)+\vert a - b \vert$$

(a) Zeigen Sie, dass wenn$f_1,f_2,\ldots,f_n$sind also stetige Funktionen

$$g(x)=\max \{f_1(x),f_2(x),\ldots,f_n(x)\}$$

ist eine stetige Funktion.

(b) Untersuchen wir, ob sich das Ergebnis in (a) auf den unendlichen Fall erstreckt. Für jede$n \in \mathbf{N}$, definieren$f_n$An$\mathbf{R}$von

$$f_n(x)=\begin{cases}1 & \text{ if } \vert x \vert \geq 1/n \\ n \vert x \vert & \text{ if } \vert x \vert < 1/n \end{cases}$$

Jetzt explizit berechnen$h(x)=\sup\{f_1(x),f_2(x),f_3(x),\ldots\}$

Nachweisen.

(a) Nehmen Sie an, dass$\displaystyle g_{k}( x) =\max\{f_{1}( x) ,f_{2}( x) ,\dotsc ,f_{k}( x)\}$ist kontinuierlich. Wir sind daran interessiert, das zu beweisen$\displaystyle g_{k+1}( x) =\max\{g_{k}( x) ,f_{k+1}( x)\}$ist auch durchgehend.

Wir haben:

$$\begin{equation*} g_{k+1}( x) =\frac{1}{2}[( g_{k}( x) +f_{k+1}( x)) +| g_{k}( x) -f_{k+1}( x)| \end{equation*}$$ Das möchten wir beweisen$\displaystyle g_{k+1}( x)$ist kontinuierlich.

Nach dem algebraischen Stetigkeitssatz, da$\displaystyle g_{k}( x)$Und$\displaystyle f_{k+1}( x)$sind kontinuierliche Funktionen, die Summe und die Differenz$\displaystyle g_{k}( x) +f_{k+1}( x)$Und$\displaystyle g_{k}( x) -f_{k+1}( x)$sind stetige Funktionen.

Auch lassen$\displaystyle f( x)$sei eine beliebige stetige Funktion. Wir sind daran interessiert, das zu beweisen$\displaystyle | f( x)|$ist auch durchgehend.

Wir sind daran interessiert, die Distanz zu machen$\displaystyle | | f( x)| -| f( c)| |$so klein wie es uns gefällt. Lassen$\displaystyle \epsilon >0$willkürlich sein. Lassen Sie uns den Zustand untersuchen$\displaystyle | | f( x)| -| f( c)| | < \epsilon$. Seit$\displaystyle | | f( x)| -| f( c)| | \leq | f( x) -f( c)|$, ersetzen$\displaystyle | | f( x)| -| f( c)| |$von$\displaystyle | f( x) -f( c)|$verstärkt die Bedingung, die wir beweisen möchten.

Das wollen wir zeigen$\displaystyle | f( x) -f( c)| < \epsilon$. Aber, durch die Definition von Funktionsgrenzen, für alle$\displaystyle \epsilon >0$, es existiert$\displaystyle \delta >0$, so dass für alle$\displaystyle | x-c| < \delta$, wir haben$\displaystyle | f( x) -f( c)| < \epsilon$.

Folglich existiert$\displaystyle \delta >0$, so dass für alle$\displaystyle | x-c| < \delta$, die Bedingung$\displaystyle | | f( x)| -| f( c)| | < \epsilon$ist befriedigt. So,$\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}| f( x)| =| f( c)|$.$\displaystyle | f( x)|$ist eine stetige Funktion.

Darauf schließen wir beides$\displaystyle g_{k}( x) +f_{k+1}( x)$Und$\displaystyle | g_{k}( x) -f_{k+1}( x)|$sind kontinuierlich. Wieder nach dem algebraischen Kontinuitätssatz,$\displaystyle g_{k+1}( x) =\frac{1}{2}[( g_{k}( x) +f_{k+1}( x)) +| g_{k}( x) -f_{k+1}( x)| ]$ist kontinuierlich.

(b) Intuitiv die Abfolge von Funktionen$\{f_1(x),f_(x),\ldots\}$kann wie folgt geplottet werden.

Ich muss noch studieren, was eine Folge von Funktionen bedeutet (in Kapitel 6), aber ich denke, wenn ich einen Punkt nahe genug nehme$0$, es ist Bilder unter$f_1,f_2,f_3,\ldots$bilden eine aufsteigende Folge. Aber ich bin mir nicht ganz sicher, welche analytischen Argumente ich hier vorbringen soll.