Topologische Charakterisierung der Kontinuität

Ich lerne Real Analysis selbst und möchte das folgende Ergebnis in dem Übungssatz 4.4 in Stephen Abbotts Analyse verstehen beweisen. Ich bin nicht ganz überzeugt von der umgekehrten Implikation. Ich möchte, dass jemand meinen Beweis überprüft, wenn er streng ist.

[Abbott, 4.4.11] (Topologische Charakterisierung der Kontinuität) . Lassen$\displaystyle g$auf allen >definiert sein$\displaystyle \mathbf{R}$. Wenn$\displaystyle B$ist eine Teilmenge von$\displaystyle \mathbf{R}$, definiere die Menge$\displaystyle g^{-1}( B)$von

$$\begin{equation*} g^{-1}( B) =\{x\in \mathbf{R} :g( x) \in B\} \end{equation*}$$

Zeige, dass$\displaystyle g$ist stetig genau dann wenn$\displaystyle g^{-1}( O)$ist jederzeit geöffnet$\displaystyle O\subseteq \mathbf{R}$ist eine offene Menge.

Nachweisen.

$\displaystyle \Longrightarrow$Richtung.

Lassen$\displaystyle c$ein willkürlicher Punkt sein$\displaystyle g^{-1}( O)$. Deshalb,$\displaystyle g( c) \in O$.

Annehmen, dass$\displaystyle g$kontinuierlich ist und dass der Bildsatz$\displaystyle O$ist offen. Per Definition existiert ein$\displaystyle \epsilon >0$, so dass die$\displaystyle \epsilon$-Nachbarschaft,$\displaystyle V_{\epsilon }( g( c)) =( g( c) -\epsilon ,g( c) +\epsilon )$darin enthalten ist$\displaystyle O$.

Wir sind davon ausgegangen, dass die Funktion$\displaystyle g$ist kontinuierlich. Also für alle$\displaystyle \xi >0$, es existiert$\displaystyle \delta >0$, so dass$\displaystyle | x-c| < \delta$ $\displaystyle \Longrightarrow$ $\displaystyle | g( x) -g( c)| < \xi$.

Wenn wir setzen$\displaystyle \xi =\epsilon$oben wird uns garantiert, dass, wenn$\displaystyle x$gehört einigen$\displaystyle \delta$-Nachbarschaft von$\displaystyle c$,$\displaystyle V_{\delta }( c) =( c-\delta ,c+\delta )$, Dann$\displaystyle g( x) \in V_{\epsilon }( g( c))$.

Daher,$\displaystyle g( V_{\delta }( c)) \subseteq V_{\epsilon }( g( c))$.

Seit$\displaystyle O$offen ist, muss es sich um die Vereinigung offener Mengen handeln.$\displaystyle O=\bigcup _{y=g( c)} V_{\epsilon }( y)$, das heißt, die Vereinigung aller$\displaystyle \epsilon$-Nachbarschaften von$\displaystyle y$, so dass$\displaystyle y=g( c)$Füllt auf$\displaystyle O$. Deshalb müssen wir das haben$\displaystyle \bigcup V_{\delta }( c)$ist das Urbild von$\displaystyle O$. Aber das impliziert das Vorbild$\displaystyle g^{-1}( O)$ist eine offene Menge.

$\Longleftarrow$Richtung. (Aktualisiert)

Gehen Sie davon aus, wann immer$\displaystyle O$ist eine offene Menge,$\displaystyle g^{-1}( O)$ist offen. Wählen Sie eine beliebige aus$\displaystyle \epsilon >0$.

Lassen$\displaystyle y\in O$sei ein beliebiger Punkt, so dass$\displaystyle y=g( x)$.$\displaystyle O$ist offen$\displaystyle \Longrightarrow$ $\displaystyle \exists \xi \leq \epsilon$, so dass$\displaystyle V_{\xi }( y) \subseteq O$. Betrachten Sie die offene Menge$\displaystyle V_{\xi }( y)$. Lassen$\displaystyle U$sei das Vorbild davon$\displaystyle \xi$-Nachbarschaft. Aus der obigen Annahme,$\displaystyle U$ist offen. Seit,$\displaystyle x\in U$, können wir a konstruieren$\displaystyle \delta$-Nachbarschaft herum$\displaystyle x$, so dass$\displaystyle V_{\delta }( x) \subseteq U$. Folglich,$\displaystyle g( V_{\delta }( x)) \subseteq V_{\xi }( y) \subseteq V_{\epsilon }( y)$.

Lassen$\displaystyle c$ein Fixpunkt im Urbild von sein$\displaystyle O$, So$\displaystyle g( c) \in O$. Seit,$\displaystyle c$ist im Vorabbild von$\displaystyle O$, die eine offene Menge ist, muss sie zu gehören$\displaystyle \delta$-Kugel von einigen$\displaystyle x$, was bedeutet, dass$\displaystyle g( c)$muss dem entsprechenden gehören$\displaystyle \xi$-Kugel aus$\displaystyle g( x)$. Also wenn$\displaystyle | x-c| < \delta$, es folgt dem$\displaystyle | g( x) -g( c)| < \epsilon$.