Kontinuierliche Funktionen von NN\Bbb{N} bis NN\Bbb{N} in der "co-small"-Topologie

In einem verwandten Beitrag fragte ich nach der "co-small"-Topologie$\Bbb{N}$. Eine der Fragen war die Charakterisierung der stetigen Funktionen aus$\Bbb{N}$sich selbst in dieser Topologie. Einige Beispiele für stetige Funktionen sind$f(n) = an + b$,$f(n) = \lfloor n^p \rfloor$für$0 < p \leq 1$, die Primzahlzählfunktion$f(n) = \pi(n)$; Einige Funktionen, die nicht stetig sind, wären$f(n) = \lfloor \log_2(n) \rfloor + 1$,$f(n) = p_n$(Die$n$te Primzahl),$f(n) = \lfloor e^{\sqrt{\ln n}} \rfloor$.

Andere Benutzer haben teilweise Ergebnisse geliefert. Ben zeigt das, wenn$f: \Bbb{N} \to \Bbb{N}$ist stetig und$f(A)$ist klein für jeden großen Satz$A$, Dann$f$ist konstant. Greg Martin zeigt das, wenn$f: \Bbb{N} \to \Bbb{N}$erfüllt$\lim_{n \to \infty} f(n)/n = \infty$auf jedem großen Set$A$, Dann$f$muss eine große Teilmenge von abbilden$A$auf eine kleine Menge und kann daher in dieser Topologie nicht kontinuierlich sein. Ich denke, ich bin bereit, eine Charakterisierung zu geben, wie schnell oder langsam eine nicht konstante kontinuierliche Funktion ist$f: \Bbb{N} \to \Bbb{N}$kann wachsen:

(Vorgeschlagener) Satz. Eine Funktion$f$aus$\Bbb{N}$zu sich selbst ist in der co-kleinen Topologie genau dann stetig , wenn es positive Konstanten gibt$M, p$so dass:

1. $f(n) \leq Mn$für alle bis auf eine kleine Menge positiver ganzer Zahlen$n$;

2. $f(n) \geq n^p$für alle bis auf eine kleine Menge positiver ganzer Zahlen$n$.

Greg Martins Antwortsendungen von (1), und Bens Antwort impliziert dies$f(n) \to \infty$außer möglicherweise auf einer kleinen Menge positiver ganzer Zahlen$n$(Endliche Mengen sind klein, daher kann das Urbild einer endlichen Menge unter einer stetigen Funktion nicht groß sein). Meine Antwort für den letzten Teil basiert auf dem Nachdenken über z$f(n) = \lfloor \sqrt{n} \rfloor$vs.$f(n) = \lfloor \log_2(n) \rfloor + 1$.

Für$f(n) = \lfloor \sqrt{n} \rfloor$, für jede ganze Zahl$k$,

OTOH, für$f(n) = \lfloor \log_2(n) \rfloor + 1$, für jede ganze Zahl$k$,

Frage: Stimmt das für alle$f: \Bbb{N} \to \Bbb{N}$, Wenn$1/k = o(\sum_{n \in f^{-1}(k)} \frac{1}{n})$auf einer großen Menge positiver ganzer Zahlen$k$, Das$f$bildet eine große Menge auf eine kleine Menge ab? Und wenn dies nicht äquivalent zu (2) oben ist, was ist dann ein explizites Gegenbeispiel?

Ich habe versucht, die Äquivalenz oben zu demonstrieren, aber es fällt mir schwer, eine Lösung in voller Allgemeinheit zu geben. Jede Hilfe wäre willkommen. Danke!

Bearbeiten: Hanul hat gezeigt , dass die obigen Bedingungen nicht ausreichen, um Kontinuität herzustellen. Sind sie notwendig?