Den Beweis jeder nichtleeren offenen Teilmenge U⊂RU⊂RU\subset\mathbb{R} zu verstehen, ist eine (höchstens abzählbare) disjunkte Vereinigung offener Intervalle

Aussage : jede nichtleere offene Teilmenge$U\subset \mathbb{R}$ist eine (höchstens abzählbare) disjunkte Vereinigung offener Intervalle.

Der Beweis stammt aus den Kursnotizen (Seite 8) eines Kurses zur Maßtheorie unter dem folgenden Link

https://people.clas.ufl.edu/pascoej/files/6616notes01dec2017.pdf

Nachweisen

Überprüfen Sie zuerst, ob$I$Und$J$sind Intervalle und$I\cap J\neq \emptyset$, Dann$I\cup J$ist ein Intervall.

Gegeben$x\in U$, lassen

$\alpha_x=\sup\{a:[x,a)\subset U\}$,

$\beta_x=\inf\{b:(b,x]\subset U\}$,

$I_x=(\beta_x,\alpha_x)$.

Überprüfen Sie das, z$x,y\in U$entweder$I_x=I_y$oder$I_x\cap I_y=\emptyset$.

In der Tat$x\sim y$Wenn$I_x=I_y$ist eine Äquivalenzrelation auf$U$. Somit,$U=\bigcup_{x\in U} I_x$drückt aus$U$als disjunkte Vereinigung von nicht leeren Intervallen, sagen wir$U=\bigcup_{p\in P}I_p$Wo$P$ist ein Indexsatz und die$I_p$sind nichtleere Intervalle. Für jede$q\in \mathbb{Q}\cap U$Es gibt ein Unikat$p_q$so dass$q\in I_{p_q}$. Andererseits für jeden$p\in P$da ist ein$q\in \mathbb{Q}\cap U$so dass$q\in I_p$. Somit fällt die Zuordnung aus$\mathbb{Q}\cap U$Zu$P$definiert von$q\rightarrow p_q$ist dran. Es folgt dem$P$ist höchstens zählbar.

Fragen

Ich möchte mein Verständnis der beiden Überprüfungen überprüfen, um die der Autor den Leser gebeten hat. Hier sind meine Versuche.

1. Überprüfen Sie das, wenn$I$Und$J$sind Intervalle und$I\cap J\neq \emptyset$, Dann$I\cup J$ist ein Intervall.

Denken Sie daran, für eine Teilmenge$I$der reellen Zahlen ein Intervall zu sein, muss es dies erfüllen

$$(\forall a,b \in I)(a<c<b\implies c\in I).$$ Wenn$I\cap J\neq \emptyset$, dann gibt es$t,a_I,b_I,a_J,b_J$so dass $$a_I<t<b_I\text{ and }a_J<t<b_J$$ Wo$a_I,b_I,t$sind alle drin$I$Und$a_J,b_J,t$sind alle drin$J$. Wir werden solche behalten$t$zur späteren Verwendung.
Für alle$a,b\in I\cup J$, Such dir irgendeine aus$y$befriedigend$a<y<b$, dann entweder$y<t$oder$y>t$. Wenn$y<t$, Dann$y\in (a_I,t)$. So$y\in I$. Wenn$y>t$, Dann$y\in (t,b_J)$. So$y\in J$. Deshalb,$y\in I\cup J$Und$I\cup J$ist ein Intervall.

2. Überprüfen Sie das, z$x,y\in U$entweder$I_x=I_y$oder$I_x\cap I_y=\emptyset$.

Ich werde das beweisen$I_x\cap I_y\neq\emptyset$, Dann$I_x=I_y$.
Wenn$I_x\cap I_y\neq\emptyset$, Dann$I_x\cup I_y$ein Intervall von ist, das wir gerade gezeigt haben. Dann

$$I_x\cup I_y= \Big(\max(\beta_x,\beta_y),\ \min(\alpha_x,\alpha_y)\Big)$$ Durch den Bau,$I_x=I_x\cup I_y =I_y$.

Ich kenne nur die grundlegende Topologie und der Autor hat eindeutig versucht, den Begriff der verbundenen Menge zu vermeiden. Es wäre toll, wenn jemand meine Beweise verbessern und mir bei der Terminologie helfen könnte. Beispielsweise wird das erweiterte Intervall die Verwendung von Max- und Min-Operatoren durcheinander bringen.